Ανισότητα με όρια

harrisp · #1

Έστω $a,b,n\in \mathbb {R}$ ώστε:

$\cos (ax) +\cos (bx) \leq 1+\cos (nx)$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$

να αποδείξετε ότι $a^2+b^2\geq n^2$

dement · #2

Η δις παραγωγίσιμη, μη αρνητική συνάρτηση $f(x) = 1 + \cos(nx) - \cos(ax) - \cos(bx)$ έχει ελάχιστο στο $0 \ (f(0) = 0)$ , οπότε $f''(0) = -n^2 + a^2 + b^2 \geqslant 0 \implies a^2 + b^2 \geqslant n^2$ .

harrisp · #3

dement έγραψε:Η δις παραγωγίσιμη, μη αρνητική συνάρτηση $f(x) = 1 + \cos(nx) - \cos(ax) - \cos(bx)$ έχει ελάχιστο στο $0 \ (f(0) = 0)$ , οπότε $f''(0) = -n^2 + a^2 + b^2 \geqslant 0 \implies a^2 + b^2 \geqslant n^2$ .

Αρκετά πιο σύντομη από αυτήν που είχα στο μυαλό μου!

Ας δούμε όμως και μία με όρια...

#4

Γράφουμε τη σχέση στη μορφή $\displaystyle 1-\cos(ax)+1-\cos(bx)\geq 1-\cos(nx)$ .
Διαιρούμε με x^2

και παίρνουμε το όριο στο 0 και το ζητούμενο προκύπτει από το γεγονός ότι
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(mx)}{x^2}=\frac{m^2}{2}$ .

harrisp · #5

silouan έγραψε:Γράφουμε τη σχέση στη μορφή $\displaystyle 1-\cos(ax)+1-\cos(bx)\geq 1-\cos(nx)$ .
Διαιρούμε με και παίρνουμε το όριο στο 0 και το ζητούμενο προκύπτει από το γεγονός ότι
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(mx)}{x^2}=m^2$ .

Ακριβώς κύριε Σιλουανέ!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Έστω $a,b,n\in \mathbb {R}$ ώστε:

$\cos (ax) +\cos (bx) \leq 1+\cos (nx)$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$

να αποδείξετε ότι $a^2+b^2\geq n^2$

Ετσι όπως είναι διατυπωμένη η υπόθεση για τα περισσότερα $a,b,n\in \mathbb {R}$ δεν ισχύει.

Θα ήταν καλύτερο αν η υπόθεση έλεγε

Έστω $a,b,n\in \mathbb {R}$ ώστε:

Υπάρχει $\epsilon > 0$ με

$\cos (ax) +\cos (bx) \leq 1+\cos (nx)$ για κάθε $x\in (-\epsilon ,\epsilon )$

Και οι δύο λύσεις που δόθηκαν παραμένουν ίδιες.

Ανισότητα με όρια

Ανισότητα με όρια

Re: Ανισότητα με όρια

Re: Ανισότητα με όρια

Re: Ανισότητα με όρια

Re: Ανισότητα με όρια

Re: Ανισότητα με όρια

Μέλη σε σύνδεση