Calm 2

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Calm 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Παρ Μάιος 05, 2017 10:56 pm

Δίνεται η παραγωγίσισμη συνάρτηση f:[0,+\infty) \to R ώστε \displaystyle{\bigstar f(0)=1 
\\ 
\\ 
\bigstar \,\,\,\,\,\,\,\,f'(x)=2xf(x)

1) Nα αποδειχθεί οτι \displaystyle{f(x)=e^{x^2}}

F μία αρχική της f στο [0,+\infty) με F(0)=0

2) Nα αποδειχθεί οτι είναι κυρτή και να βρεθεί η εφαπτομένη της C_F στο x_0=0

3) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{xF(x)}}

4) \displaystyle{F(x+1)-F(x)>f(x), x \geq 0}

5) Να λυθεί η εξίσωση F(F(x))=F(x), x \geq 0
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Σάβ Μάιος 06, 2017 12:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6098
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Calm 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Μάιος 06, 2017 1:50 am

erxmer έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσισμη συνάρτηση f:[0,+\infty) \to R ώστε \displaystyle{\bigstar f(0)=1 
\\ 
\\ 
\bigstar \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=(x+y)f(\frac{x+y}{2}),x,y \geq 0,x \neq y}

1) Nα αποδειχθεί οτι \displaystyle{f(x)=e^{x^2}}

F μία αρχική της f στο [0,+\infty) με F(0)=0

2) Nα αποδειχθεί οτι είναι κυρτή και να βρεθεί η εφαπτομένη της C_F στο x_0=0

3) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{xF(x)}}

4) \displaystyle{F(x+1)-F(x)>f(x), x \geq 0}

5) Να λυθεί η εξίσωση F(F(x))=F(x), x \geq 0
Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Calm 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 06, 2017 11:34 am

socrates έγραψε:
Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Όντως,

η αρχική δεν επαληθεύεται. Με βάση το πάνω κάνω μία αλλαγή στην άσκηση.
erxmer έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσισμη συνάρτηση f:[0,+\infty) \to R με f(x)=e^{x^2}.

F μία αρχική της f στο [0,+\infty) με F(0)=0

1) Nα αποδειχθεί οτι είναι κυρτή και να βρεθεί η εφαπτομένη της C_F στο x_0=0

2) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{xF(x)}}

3) \displaystyle{F(x+1)-F(x)>f(x), x \geq 0}

4) Να λυθεί η εξίσωση F(F(x))=F(x), x \geq 0
Καταρχάς η f είναι γνήσια αύξουσα στο [0, +\infty) αφού για x_1, x_2 \in [0, +\infty) με x_1<x_2 είναι f(x_1)<f(x_2) (άμεσο κατασκευαστικά).

(α) Η {\rm F} είναι παραγωγίσιμη στο [0, +\infty) με {\rm F}'(x)=f(x) για κάθε x \in [0, +\infty) Η {\rm F}' είναι γνήσια αύξουσα συνεπώς η {\rm F} είναι κυρτή. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης αυτής στο σημείο (0, 0) έχει εξίσωση
\displaystyle{y-{\rm F}(0)= {\rm F}'(0) (x - 0) \Leftrightarrow y =x} (β) Το όριο είναι της μορφής \frac{\infty}{\infty} διότι {\rm F}(x) \geq x (λόγω κυρτότητας) οπότε παίρνοντας όρια έχουμε \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} {\rm F}(x) = +\infty. Τότε από DLH έχουμε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x {\rm F}(x)}  \\  
 &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f'(x)}{{\rm F}(x) + x f(x)}\\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x e^{x^2}}{{\rm F}(x) +x e^{x^2}} \\  
 &= 2\lim_{x\rightarrow +\infty}  \frac{e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}}{2e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} } \\ 
 &= 2 \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x^2+1}{2x^2+2} \\ 
 &=2 
\end{aligned}} (γ) Η {\rm F} ικανοποιεί το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο [0,+\infty) οπότε υπάρχει \xi_x \in [x, x+1] τέτοιο ώστε
\displaystyle{{\rm F}\left ( x+1 \right ) - {\rm F}(x) = f\left ( \xi_x \right )> f(x)} διότι \xi_x>x και επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα το συμπέρασμα έπεται.

(δ) Η {\rm F} είναι γνήσια αύξουσα αφού {\rm F}'(x)=f(x)>0 για κάθε x \in [0, +\infty). Οπότε η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:
\displaystyle{\begin{aligned} 
{\rm F}\left ( {\rm F}(x) \right ) = {\rm F}(x) &\!\!\!\ \overset{{\rm F} \;\; \begin{tikzpicture}  
\draw[thick , >->] (0, 0) -- (0, 0.3); 
\end{tikzpicture} }{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } {\rm F}(x) = x \\  
 &\Leftrightarrow x =0  
\end{aligned}} αφού η f είναι κυρτή και κατά συνέπεια η γραφική παράστασή της είναι πάνω από την εφαπτομένη με εξαίρεση το σημείο επαφής. Συνεπώς {\rm F}(x) \geq x για κάθε x \in [0, +\infty) με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Calm 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Σάβ Μάιος 06, 2017 12:52 pm

Eπειδή με τις συναρτησιακές συμβαίνει καμια φορά, την άλλαξα με μια γνωστή σχέση που δίνει την συνάρτηση που θέλουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης