Calm

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Calm

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τετ Μάιος 03, 2017 7:01 pm

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτησηf:(0,+\infty) \to R ώστε \displaystyle{f(x)=\int_{0}^{1}\frac{t^x}{t+1}dt}

1) Να βρεθούν οι τιμές f(1),f(2)

2) Δείξτε οτι \displaystyle{f(x+1)+f(x)=\frac{1}{x+1},x>0}

3) \displaystyle{\frac{1}{2(x+1)}<f(x)<\frac{1}{2x},x>1}

4) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=;}

5) \displaystyle{f(e^x+2)+f(x^2+1)>f(e^x)+f(x^2+3),x>0}
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Πέμ Μάιος 04, 2017 5:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Calm

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Μάιος 04, 2017 2:29 am

erxmer έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτησηf:(0,+\infty) \to R ώστε \displaystyle{f(x)=\int_{0}^{1}\frac{t^x}{t+1}dt}

1) Να βρεθούν οι τιμές f(1),f(2)

2) Δείξτε οτι \displaystyle{f(χ+1)+f(x)=\frac{1}{x+1},x>0}

3) \displaystyle{\frac{1}{2(x+1)}<f(x)<\frac{1}{2x},x>1}

4) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=;}

5) \displaystyle{f(e^x+2)+f(x^2+1)>f(e^x)+f(x^2+3),x>0}
...μιά αντιμετώπιση....

1) Είναι
f(1)=\int\limits_{0}^{1}{\frac{t}{t+1}}dt=\int\limits_{0}^{1}{\frac{t}{t+1}}dt=\int\limits_{0}^{1}{\frac{t+1-1}{t+1}}dt= 
 
\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-\frac{1}{t+1} \right)}dt=\left[ t-\ln (t+1) \right]_{0}^{1}=1-\ln 2

Επίσης f(2)=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{t}^{2}}}{t+1}}dt=\int\limits_{0}^{1}{\left( t-\frac{t}{t+1} \right)}dt=\int\limits_{0}^{1}{\left( t-1+\frac{1}{t+1} \right)}dt=

=\left[ \frac{{{t}^{2}}}{2}-t+\ln (t+1) \right]_{0}^{1}=-\frac{1}{2}+\ln 2

2) Είναι
f(x+1)+f(x)=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{{{t}^{x+1}}}{t+1}+\frac{{{t}^{x}}}{t+1} \right)}dt=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{{{t}^{x}}(t+1)}{t+1} \right)}dt= 
 
\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{x}}}dt=\left[ \frac{{{t}^{x+1}}}{x+1} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{x+1}

3) Επειδή t\in [0,\,1] η συνάρτηση {{t}^{x}} είναι γνήσια φθίνουσα άρα για

0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow {{t}^{{{x}_{1}}}}>{{t}^{{{x}_{2}}}}\Rightarrow \frac{{{t}^{{{x}_{1}}}}}{t+1}>\frac{{{t}^{{{x}_{2}}}}}{t+1}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\frac{{{t}^{{{x}_{1}}}}}{t+1}dt}>\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{t}^{{{x}_{2}}}}}{t+1}dt} 
 
\Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})

που σημαίνει ότι η συνάρτηση f:(0,+\infty) \to R είναι γνήσια α φθίνουσα στο (0,+\infty )

Τώρα θέλουμε \frac{1}{2(x+1)}<f(x) που λόγω του ερωτήματος (2) γίνεται

f(x+1)+f(x)<2f(x)\Leftrightarrow f(x+1)<f(x),\,\,x>1

που ισχύει αφού είναι x+1>x και η fγνήσια α φθίνουσα στο (0,+\infty )

Ακόμη με όπου x το x-1 στην x>1 στην f(x+1)+f(x)=\frac{1}{x+1},x>0 έχουμε ότι f(x)+f(x-1)=\frac{1}{x},\,\,x>1(3)

Τώρα θέλουμε f(x)<\frac{1}{2x},x>1 που λόγω (3) 2f(x)<f(x)+f(x-1)\Leftrightarrow f(x)<f(x-1),\,\,x>1

που ισχύει αφού είναι x>x-1 και η fγνήσια α φθίνουσα στο (0,+\infty )

4) Από \displaystyle{\frac{1}{2(x+1)}<f(x)<\frac{1}{2x},x>1}επειδή

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2(x+1)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2x}=0

σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0

5) …τι θέλουμε για την ανισότητα να δειχθεί….

...κάνω μιά προσπάθεια και την αφήνω ημιτελή μέχρι να μιλήσει ο δημιουργός..

Από f(x+1)+f(x)=\frac{1}{x+1},x>0 και f(x)+f(x-1)=\frac{1}{x},\,\,x>1 αφαιρώντας κατά μέλη ισχύει ότι

f(x+1)-f(x-1)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{{{x}^{2}}+x},\,\,x>1 και αν g(x)=f(x+1)-f(x-1)=-\frac{1}{{{x}^{2}}+x},\,\,x>1

έχει παράγωγο {g}'(x)=\frac{2x+1}{{{({{x}^{2}}+x)}^{2}}},\,\,x>1 άρα είναι γνήσια αύξουσα στο (1,\,\,+\infty )

και είναι g({{e}^{x}}+1)=f({{e}^{x}}+2)-f({{e}^{x}}) και g({{x}^{2}}+2)=f({{x}^{2}}+3)-f({{x}^{2}}+1)

επομένως για την ανισότητα θέλουμε να δείξουμε;;;;

g({{e}^{x}}+1)>g({{x}^{2}}+2)\Leftrightarrow {{e}^{x}}+1>{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{e}^{x}}>{{x}^{2}}+1

τώρα :sleeping: :sleeping:


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Calm

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Μάιος 04, 2017 8:43 am

Οπότε να διορθωθεί το (2) και να γίνει f(x+1)+f(x)
αντί f(+1)+f(x)


Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Calm

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Πέμ Μάιος 04, 2017 5:33 pm

Αρα e^x>x^2+1. Οπότε θέτουμε ανάλογη συνάρτηση και αποδεικνύουμε οτι ισχύει λόγω μονοτονίας και αρα ισχύει και η αρχική


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης