Γενική

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Γενική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τετ Απρ 26, 2017 9:31 pm

Δίνεται παραγωγίσισμη συνάρτηση f: R \to R ώστε f^3(x)+f(x)+1=x, x \in R.

1) Αποδείξτε οτι είναι γνήσια αύξουσα και να βρεθεί το πρόσημο της

2) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής

3) Να αποδειχθεί οτι αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της

4) Δείξτε οτι \displaystyle{4\left ( f(x)-f^{-1}(0) \right ) \leq x-f^{-1}(0), x \geq 1}

5) \displaystyle{\frac{f(x)-2}{x-11}>\frac{3-f(x)}{31-x}, x \in (11,31)}, \displaystyle{\int_{20}^{22}f(x)dx>5}



Λέξεις Κλειδιά:
jalex
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τρί Ιουν 01, 2010 5:29 pm

Re: Γενική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jalex » Δευ Μάιος 01, 2017 9:12 am

Μια προσπάθεια επίλυσης.

(1) Για κάθε \displaystyle{x \in \msthbb{R}} έχουμε:
\displaystyle{f^3(x) + f(x) + 1 = x \Rightarrow 3f^2(x)f'(x) + f'(x) = 1 \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{3f^2(x) + 1} > 0}.
Έπεται ότι η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}.
Επίσης, αν στη δοσμένη σχέση θέσουμε \displaystyle{x = 1} προκύπτει ότι:
\displaystyle{f^3(1) + f(1) + 1 = 1 \Rightarrow f^3(1) + f(1) = 0 \Rightarrow f(1) = 0}.
Τότε, αφού η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει ότι:
  • για \displaystyle{x > 1} είναι \displaystyle{f(x) > f(1) \Rightarrow f(x) > 0}
    για \displaystyle{x < 1} είναι \displaystyle{f(x) < f(1) \Rightarrow f(x) < 0}
(2) Για κάθε \displaystyle{x \in \msthbb{R}} έχουμε \displaystyle{f''(x) = -\dfrac{6f(x)f'(x)}{\big[ 3f^2(x) + 1 \big]^2}}. Τότε:
  • \displaystyle{f''(x) = 0 \iff f(x) = 0 \iff  x = 1}
    \displaystyle{f''(x) > 0 \iff f(x) < 0 \iff  x < 1}
    \displaystyle{f''(x) < 0 \iff f(x) > 0 \iff  x > 1}
Έπεται ότι η \displaystyle{f} είναι κυρτή στο διάστημα \displaystyle{(-\infty,1]} και κοίλη στο διάστημα \displaystyle{[1,+\infty)}, οπότε παρουσιάζει σημείο καμπής στη θέση \displaystyle{x = 1} το \displaystyle{f(1) = 0}.
(5) Η \displaystyle{f} ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα \displaystyle{[11,x]} και \displaystyle{[x,31]} οπότε υπάρχουν \displaystyle{\xi_1 \in (1,x)} και \displaystyle{\xi_2 \in (x,31)} τέτοια ώστε:
\displaystyle{f'(\xi_1) = \dfrac{f(x) - f(11)}{x - 11}} και \displaystyle{f'(\xi_2) = \dfrac{f(31) - f(x)}{31 - x}}.
Όμως από τη δοσμένη σχέση:
  • για \displaystyle{x = 11} είναι \displaystyle{f^3(11) + f(11) + 1 = 11 \iff f^3(11) + f(11) - 10 = 0 \iff f(11) = 2}
    για \displaystyle{x = 31} είναι \displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(31) = 3}
Άρα:
\displaystyle{f'(\xi_1) = \dfrac{f(x) - 2}{x - 11}} και \displaystyle{f'(\xi_2) = \dfrac{3 - f(x)}{31 - x}}.
Τέλος, επειδή στο διάστημα \displaystyle{[1,+\infty)} ισχύει \displaystyle{f''} έπεται ότι η \displaystyle{f'} είναι γνησίως αύξουσα, άρα:
\displaystyle{\xi_1 < \xi_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \Rightarrow \dfrac{f(x) - 2}{x - 11} > \dfrac{3 - f(x)}{31 - x}}.
Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος έχουμε:
\displaystyle{\dfrac{f(x) - 2}{x - 11} > \dfrac{3 - f(x)}{31 - x} \Rightarrow (31 - x)\big[ f(x) - 2 \big] > (x - 11)\big[ 3 - f(x) \big] \Rightarrow 20f(x) < x + 29}.
Άρα:
\displaystyle{\int_{20}^{22}f(x)dx < \int_{20}^{22}\dfrac{x - 29}{20}dx \Rightarrow \int_{20}^{22}f(x)dx < \dfrac{\left[ \dfrac{x^2}{2} - 29x \right]_{20}^{22}}{20} \Rightarrow \int_{20}^{22}f(x)dx < 5.

ΥΓ.
(α) Στο ερώτημα (3) να υποθέσω ότι ζητάει τον τύπο της \displaystyle{f^{-1}};
(β) Το ερώτημα (4) δεν μπορώ να το λύσω.
τελευταία επεξεργασία από jalex σε Τετ Μάιος 03, 2017 3:11 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Γενική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Δευ Μάιος 01, 2017 9:53 am

[quote="jalex"]Μια προσπάθεια επίλυσης.

\displaystyle{x = 31} είναι \displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(11) = 3}

Μάλλον εννοείτε f(31)=3

Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
f^3(x)+f(x)=x-1 \Leftrightarrow f(x)[f^2(x)+1)]=x-1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-1}{f^2(x)+1}

και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας

Για τον τύπο: Θέτουμε f(x)=y και
y^3+y+1=x \Leftrightarrow f^{-1}(x)=x^3+x+1 αφού ισχύει για κάθε x \in R


jalex
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τρί Ιουν 01, 2010 5:29 pm

Re: Γενική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jalex » Τετ Μάιος 03, 2017 3:22 pm

Ratio έγραψε:
jalex έγραψε:Μια προσπάθεια επίλυσης.

\displaystyle{x = 31} είναι \displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(11) = 3}
Μάλλον εννοείτε f(31)=3
Ακριβώς αυτό εννοούσα. Το διόρθωσα και στο αρχικό κείμενο.
Ratio έγραψε:Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
f^3(x)+f(x)=x-1 \Leftrightarrow f(x)[f^2(x)+1)]=x-1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-1}{f^2(x)+1}

και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας
Το έχω σκεφτεί αλλά δεν μπορώ να προχωρήσω.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Γενική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Μάιος 04, 2017 10:18 am

jalex έγραψε:
Ratio έγραψε:
jalex έγραψε:Μια προσπάθεια επίλυσης.

\displaystyle{x = 31} είναι \displaystyle{f^3(31) + f(31) + 1 = 31 \iff f^3(31) + f(31) - 30 = 0 \iff f(11) = 3}
Μάλλον εννοείτε f(31)=3
Ακριβώς αυτό εννοούσα. Το διόρθωσα και στο αρχικό κείμενο.
Ratio έγραψε:Για το ερώτημα (4)
θα βοηθήσει αν δείτε την παράσταση ως:
f^3(x)+f(x)=x-1 \Leftrightarrow f(x)[f^2(x)+1)]=x-1\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-1}{f^2(x)+1}

και χρησιμοποιήσετε τον πίνακα μονοτονίας
Το έχω σκεφτεί αλλά δεν μπορώ να προχωρήσω.
θεωρούμε συνάρτηση g(x)=4f(x)-4f^{-1}(0)-x+f^{-1}(0)\Leftrightarrow g(x)=4f(x)-x-3
Είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ώς πράξη συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων
g'(x)=4f'(x)-1=4\frac{1}{3f^2(x)+1}-1=\frac{4}{3f^2(x)+1}-1\Leftrightarrow \\\\g'(x)=\frac{3-3f^2(x)}{3f^2(x)+1}\Leftrightarrow g'(x)=\frac{3(1-f(x))(1+f(x))}{3f^2(x)+1}


sot arm
Δημοσιεύσεις: 204
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Γενική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Πέμ Μάιος 04, 2017 2:26 pm

Βάζω την λύση μου για το 4) θέτω στην αρχική x=3 και έχω:
\displaystyle{f^{3}(3)+f(3)-2=0\Leftrightarrow f^{3}(3)-1+f(3)-1=0\Leftrightarrow  
(f(3)-1)(f^{2}(3)+f(3)+2)=0 \Leftrightarrow f(3)=1}
Η δεξιά παρένθεση είναι θετική πάντα, θέλει λίγη αιτιολόγηση αλλά το αφήνω ως απλό.Επίσης:
\displaystyle{f'(3)=\frac{1}{3f^{2}(3)+1}=\frac{1}{4}}
Η f είναι κοίλη για κάθε χ μεγαλύτερο ή ίσο του 1 άρα βρίσκεται <<κάτω>> από την εφαπτομένη στο (3,1) συνεπώς:
\displaystyle{f(x)\leq f'(3)(x-3)+f(3)\Leftrightarrow 4f(x)-4\leq x-3\leq x-1\Leftrightarrow 4(f(x)-f^{-1}(0))\leq x-f^{-1}(0)}
Τώρα ή χάνω κάτι ή λείπει ένα 3 στην εκφώνηση, αφού η ισότητα δεν πιάνεται...


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες