Ολίγον από... σχολικό

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Ολίγον από... σχολικό

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Μάιος 01, 2017 5:45 pm

kfd έγραψε:για την δεύτερη εξίσωση πάλι προφανής ρίζα είναι η x=1;
f^{-1}\left ( 1 \right )=;
Για σκέψου γιατί δεν ισχύει αυτό που γράφεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Διορθώθηκε τυπογραφικό.

Να τονίσω πως υπάρχει και λύση του (γ.ii.) που αξιοποιεί το ερώτημα (β).

Φιλικά.

Υ.Γ. Χαίρομαι που από την άσκηση γίνεται συζήτηση με αρκετά μέλη.


Μάριε δεν νομίζεις ότι είναι καιρός να βάλεις την λύση σου στο γ.ii. ;
Θέλω να περιμένω λίγο ακόμα. Μάλιστα, το εν λόγω ερώτημα το έχω ξαναβάλει στο :logo:.

Υπόδειξη: \left | f'(x) \right |\leqslant 2, για κάθε x\in [-1,1] και μετά Θ.Μ.Τ. Ποια είναι η σχετική θέση της ταυτοτικής με την αντίστροφη της f.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Ολίγον από... σχολικό

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Δευ Μάιος 08, 2017 4:47 pm

...Λύση για την εξίσωση που έμεινε...

Ισχύει ότι για κάθε x,y\in \left [ \ln 2-1,1 \right ]: \displaystyle{\left | \ln \left ( x^{2}+1 \right )-\ln\left ( y^{2}+1 \right ) \right |\leq \left | x-y \right |\Leftrightarrow }

\displaystyle{\left | f(x)-f(y)-x+y \right |\leq \left | x-y \right |\Leftrightarrow }
Για \displaystyle{y=f^{-1}\left ( x \right )}, έχουμε ότι: \displaystyle{\left | f(x)+f^{-1}(x)-2x \right |\leq \left | x-f^{-1}(x) \right |} Όμως: \displaystyle{\ln\left ( x^{2}+1 \right )\geq 0\Leftrightarrow }

\displaystyle{f(x)=x+\ln\left ( x^{2}+1 \right )\geq x\Leftrightarrow }

\displaystyle{x-f^{-1}(x)\geq 0}
Επομένως, ισχύει: \displaystyle{-x+f^{-1}(x)\leq f(x)+f^{-1}(x)-2x \leq x-f^{-1}(x)\Leftrightarrow }

\displaystyle{f(x)+2f^{-1}(x)\leq 3x}
Με την ισότητα να ισχύει, αν και μόνο αν, \displaystyle{x=y=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=x\Leftrightarrow x=0}.

Υ.Γ. Υπάρχει και άλλος τρόπος :).


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
APOSTOLAKIS
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm

Re: Ολίγον από... σχολικό

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από APOSTOLAKIS » Τρί Μάιος 09, 2017 2:22 am

γii) Η εξίσωση ορίζεται στο σύνολο [-1,1]\cap [-1+ln2, 1+ln2]=[-1+ln2, 1], έχει προφανή ρίζα x = 0 και γράφεται:
f(x)-x=2(f^{-1}(x)-x) (1)
Η f είναι κοίλη και η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο A(0,f(0)) έχει εξίσωση y=x. Τότε η C_{f} βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη εκτός από το σημείο επαφής, άρα για κάθε x\neq 0 ισχύει f(x)<x \Leftrightarrow f(x)-x<0 τότε από την (1) και 2(f^{-1}(x)-x)<0, άρα μοναδική λύση η x=0.
Για τη δεύτερη ομοίως.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης