![f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R} f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2ae83dd8241dcab1e12883d1d670589d.png)





(α) Να αποδείξετε ότι

![x\in [-1,1] x\in [-1,1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/547db7d2339cfb3345123313fe6a4981.png)
(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση


(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση


(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν
![\displaystyle{x\in \color{red} \left [\ln 2 -1,1 \right ]} \displaystyle{x\in \color{red} \left [\ln 2 -1,1 \right ]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/10d9af81152c8b8caade2f56b4af7eb4.png)





Μάριος
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στο (α) .M.S.Vovos έγραψε: Έστω η συνεχής συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο
τέτοια ώστε:
, για κάθε
(α) Να αποδείξετε ότι,
.
(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτησηείναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης
.
(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτησηείναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
.
(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου
, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία
, αν γνωρίζετε ότι:
Φιλικά,
Μάριος
ΚαλησπέραM.S.Vovos έγραψε: Έστω η συνεχής συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο
τέτοια ώστε:
, για κάθε
(α) Να αποδείξετε ότι,
.
(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτησηείναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης
.
(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτησηείναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
.
(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου
, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία
, αν γνωρίζετε ότι:
Φιλικά,
Μάριος
ΛήμμαTolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι)![]()
Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.
Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
![]()
Καλησπέρα. Μια, καθαρά γεωμετρική εντός σχολικού πλαισίου, προσπάθεια για το (γ)(ii)...Christos.N έγραψε:ΛήμμαTolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι)![]()
Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.
Ανγνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και
γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Απόδειξη:
Παρατήρηση-υπόδειξη :
Ξέχασα:
Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
![]()
Σταμάτη για δες το καλύτερα τοΣταμ. Γλάρος έγραψε:Καλησπέρα. Μια, καθαρά γεωμετρική εντός σχολικού πλαισίου, προσπάθεια για το (γ)(ii)...Christos.N έγραψε:ΛήμμαTolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι)![]()
Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.
Ανγνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και
γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Απόδειξη:
Παρατήρηση-υπόδειξη :
Ξέχασα:
Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
![]()
Είναι:![]()
![]()
(1)
Ισχύει :. Συνεπώς η
είναι γνησίως αύξουσα στο
.
Επίσης. Συνεπώς η
είναι κυρτή στο
.
Επί πλέον η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςστο σημείο
είναι η
.
Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησηςβρίσκεται πάνω από την
, εκτός από το σημείο επαφής.
Ακόμα γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, είναι συμμετρική της
με άξονα συμμετρίας την
. Συνεπώς, λόγω της συμμετρίας αυτής, εφάπτεται και αυτή στο σημείο
,βρίσκεται κάτω από την
, εκτός από το σημείο επαφής.
Από τα παραπάνω προκύπτεικαι
, για κάθε
, στο
.
Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η. Ομοίως εργαζόμαστε και για την δεύτερη.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
...Καλησπέρα σου ΤόληTolaso J Kos έγραψε:ΚαλησπέραM.S.Vovos έγραψε: Έστω η συνεχής συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο
τέτοια ώστε:
, για κάθε
(α) Να αποδείξετε ότι,
.
(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτησηείναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης
.
(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτησηείναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
.
(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου
, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία
, αν γνωρίζετε ότι:
Φιλικά,
Μάριος![]()
(α) Θεωρούμε τη συνάρτησηη οποία είναι παραγωγίσιμη στο
με
από την υπόθεση. Συνεπώς η
είναι φθίνουσα. Επειδή είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα θα παίρνει ως μονότονη μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο
και στο
αντίστοιχα.
...προφανώς του δημιουργού του ξεύφυγε ένα μείον στοM.S.Vovos έγραψε:Σταμάτη για δες το καλύτερα τοΣταμ. Γλάρος έγραψε:Καλησπέρα. Μια, καθαρά γεωμετρική εντός σχολικού πλαισίου, προσπάθεια για το (γ)(ii)...Christos.N έγραψε:ΛήμμαTolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι)![]()
Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.
Ανγνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και
γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Απόδειξη:
Παρατήρηση-υπόδειξη :
Ξέχασα:Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
![]()
Είναι:![]()
![]()
(1)
Ισχύει :. Συνεπώς η
είναι γνησίως αύξουσα στο
![]()
Επίσης. Συνεπώς η
είναι κυρτή στο
.
Επί πλέον η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςστο σημείο
είναι η
.
Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησηςβρίσκεται πάνω από την
, εκτός από το σημείο επαφής.
Ακόμα γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, είναι συμμετρική της
με άξονα συμμετρίας την
. Συνεπώς, λόγω της συμμετρίας αυτής, εφάπτεται και αυτή στο σημείο
,βρίσκεται κάτω από την
, εκτός από το σημείο επαφής.
Από τα παραπάνω προκύπτεικαι
, για κάθε
, στο
.
Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η. Ομοίως εργαζόμαστε και για την δεύτερη.
Φιλικά
Σταμ. Γλάροςδεν ανήκει στο διάστημα που ορίζεται η μεταβλητή
.
Φιλικά.
KAKABASBASILEIOS έγραψε:...προφανώς του δημιουργού του ξεύφυγε ένα μείον στοM.S.Vovos έγραψε:Σταμάτη για δες το καλύτερα τοΣταμ. Γλάρος έγραψε:Καλησπέρα. Μια, καθαρά γεωμετρική εντός σχολικού πλαισίου, προσπάθεια για το (γ)(ii)...Christos.N έγραψε:ΛήμμαTolaso J Kos έγραψε:
(γ.ιι)![]()
Δε τα βλέπω αυτή τη στιγμή.
Ανγνησίως αύξουσα και αντιστρέψιμη συνάρτηση , τότε και
γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Απόδειξη:
Παρατήρηση-υπόδειξη :
Ξέχασα:Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.M.S.Vovos έγραψε: (γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
![]()
Είναι:![]()
![]()
(1)
Ισχύει :. Συνεπώς η
είναι γνησίως αύξουσα στο
![]()
Επίσης. Συνεπώς η
είναι κυρτή στο
.
Επί πλέον η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησηςστο σημείο
είναι η
.
Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησηςβρίσκεται πάνω από την
, εκτός από το σημείο επαφής.
Ακόμα γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, είναι συμμετρική της
με άξονα συμμετρίας την
. Συνεπώς, λόγω της συμμετρίας αυτής, εφάπτεται και αυτή στο σημείο
,βρίσκεται κάτω από την
, εκτός από το σημείο επαφής.
Από τα παραπάνω προκύπτεικαι
, για κάθε
, στο
.
Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η. Ομοίως εργαζόμαστε και για την δεύτερη.
Φιλικά
Σταμ. Γλάροςδεν ανήκει στο διάστημα που ορίζεται η μεταβλητή
.
Φιλικά.που
για να είναι κοινό πεδίο ορισμού θα πρέπει σωστά να είναιοπότε η γεωμετρική προσέγγιση του
φίλου μου του Σταμάτη είναι σωστή....
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Συνηθίζεται να δίνεται το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων.[/quote]Christos.N έγραψε:
(γ.ii.) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, όταν:
![]()
Επίσης Σταμάτη σου εύχομαι κάθε δύναμη και καλή επιτυχία ...Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
ΥΓ. Καλή δύναμη στους μαθητές που δίνουν Πανελλήνιες, καθώς και στους δασκάλους τους που αγωνίζονται μαζί τους...
Άρα μήπως ο θεματοδότης έχει τελικά στο μυαλό του το ορθότεροM.S.Vovos έγραψε:
Σταμάτη για δες το καλύτερα τοδεν ανήκει στο διάστημα που ορίζεται η μεταβλητή
.
Φιλικά.
...Καλημέρα και μετά την υπόδειξη του δημιουργού....M.S.Vovos έγραψε:Διορθώθηκε τυπογραφικό.
Να τονίσω πως υπάρχει και λύση του (γ.ii.) που αξιοποιεί το ερώτημα (β).
Φιλικά.
Υ.Γ. Χαίρομαι που από την άσκηση γίνεται συζήτηση με αρκετά μέλη.
...δεν καταλαβαίνω αυτό που μου γράφεις Μάριε...τι εννοείς;;;;; που ορίζεται;;;M.S.Vovos έγραψε:K. Βασίλη δεν είναι ηορισμένη στους πραγματικούς.
Εννοώ ότι πρέπει να κάνετε μια διόρθωση σε τυπογραφικό. Δεν είναιKAKABASBASILEIOS έγραψε:...δεν καταλαβαίνω αυτό που μου γράφεις Μάριε...τι εννοείς;;;;; που ορίζεται;;;M.S.Vovos έγραψε:K. Βασίλη δεν είναι ηορισμένη στους πραγματικούς.
και επίσης δεν έχω καταλάβει τι σημαίνει το ...Ολίγον από...σχολικό...για το θέμα
που έβαλες....
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
M.S.Vovos έγραψε:Διορθώθηκε τυπογραφικό.
Να τονίσω πως υπάρχει και λύση του (γ.ii.) που αξιοποιεί το ερώτημα (β).
Φιλικά.
Υ.Γ. Χαίρομαι που από την άσκηση γίνεται συζήτηση με αρκετά μέλη.
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης