Nice

erxmer · #1

Δίνεται η δις παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: [-2,2] \to R$ ώστε $\displaystyle{f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0, f(0)=\sqrt{3}}$

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Αν το

είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης να βρεθεί η τιμή του

3) Να δειχθεί οτι η C_f

δεν έχει σημείο καμπής

4) $\displaystyle{\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( f^2(x)+xf(x) \right )^2dx}$

5) Να σχεδιαστεί η C_f

Ratio · #2

Για το 1.

$f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0\Leftrightarrow f^2(x)+2\frac{x}{2}f(x)+\left ( \frac{x}{2} \right )^2-\left ( \frac{x}{2} \right )^2+x^2-3=0\Leftrightarrow \\\\ \left ( f(x)+\frac{x}{2} \right )^2=3-x^2+\left ( \frac{x}{2} \right )^2\Leftrightarrow \left ( f(x) +\frac{x}{2}\right )^2=\frac{12-3x^2}{4}$

όπου $12-3x^2\geq 0\Leftrightarrow \left | x \right |\leq 2\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2$

άρα
$\left | f(x) +\frac{x}{2}\right |=\frac{\sqrt{12-3x^2}}{2}\Leftrightarrow \\\\ f(x)=\frac{\sqrt{12-3x^2}}{2}-\frac{x}{2}$
ή
$f(x)=-\frac{\sqrt{12-3x^2}}{2}-\frac{x}{2}$

Όμως $f(0)=\sqrt{3}\Rightarrow f(x)=\frac{\sqrt{12-3x^2}-x}{2}$
με D_f=[-2,2]

2. $f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0\Leftrightarrow 2f(x)f'(x)+f(x)+xf'(x)+2x=0\Leftrightarrow \\\\f'(x)\left [ 2f(x)+x \right ]=-2x-f(x)\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{2x+f(x)}{2f(x)+x}(*)$ όπου
(*)
$\\2f(x)+x\neq 0\Leftrightarrow 2\frac{\sqrt{12-3x^2}-x}{2}+x\neq 0\Leftrightarrow x\neq -2$ και $x\neq 2$ (1)

και
$f''(x)\left [ 2f(x)+x \right ]+f'(x)[2f'(x)+1]=-2-f'(x)\Leftrightarrow \\\\ f''(x)=-\frac{[f'(x)]^2+f'(x)+1}{2f'(x)+x}$ (2)

$f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{12-3x^2}-x}{2}+2x=0\Leftrightarrow \sqrt{12-3x^2}-x+4x=0\Leftrightarrow \\\\\sqrt{12-3x^2}=-3x$
με $x \leq 0\\\\$ οπότε

$\sqrt{12-3x^2}=-3x\Leftrightarrow 12-3x^2=9x^2\Leftrightarrow \left | x \right |=1 (**x\leq 0)\Leftrightarrow \Leftrightarrow x=-1$
με f(-1)=1

Από τη σχέση (2) συνάγεται ότι $f''(x) \neq 0$ καθώς το τριώνυμο [f'(x)]^2+f'(x)+1

διατηρεί σταθερό πρόσημο θετικό, έχοντας $\Delta=-3 \leq 0$ επομένως η f(x)

δεν παρουσιάζει σημεία καμπής.

Σημείωση Στο κλάσμα της f''(x)

παίρνουμε περιορισμό $2f'(x)+x \neq 0 \Leftrightarrow....\Leftrightarrow x \neq 0$ και $x \neq 4$ εκτός και αν έχω κάνει κάποιο υπολογιστικό λάθος

Τα υπόλοιπα αύριο

kfd · #3

Πρέπει να βρεθεί η f και στα $(-\infty ,-2),(2,+\infty )$

Ratio · #4

Για την ασύμπτωτη, διαιρούμε τη δοθείσα σχέση με x^2

$f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0\Leftrightarrow \frac{f^2(x)}{x^2}+\frac{xf(x)}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}=0\Leftrightarrow \left ( \frac{f(x)}{x^2} \right )^2+\frac{f(x)}{x}+1-\frac{3}{x^2}=0$

Θέτοντας $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=y$
προκύπτει y^2+y+1=0

(3)

καθώς $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3}{x^2}=0$
Η εξίσωση όμως y^2+y+1=0

είναι αδύνατη επομένως δεν υπαρχει πλάγια ασύμπτωτη για την f(x)

, όταν $x\rightarrow \infty$

kfd · #5

kfd · #6

Mε ΠΟ το

πλάγια ασύμπτωτη;

Ratio · #7

kfd έγραψε:Πρέπει να βρεθεί η f και στα $(-\infty ,-2),(2,+\infty )$

Θεωρούμε την παράσταση x^2+xf(x)+f^2(x)-3=0

Για να έχει $x \in R$ θα πρέπει $\Delta = f^2(x)-4(f^2(x)-3)\geq 0 \\\Leftrightarrow 12-3f^2(x) \geq 0 \\\Leftrightarrow f^2(x) \leq 4 \Leftrightarrow -2 \leq f(x) \leq 2$

Αν πάλι θεωρηθεί δευτεροβάθμια ως προς f^2(x)

καταλήγουμε ότι $-2 \leq x\leq 2$ έτσι ώστε $f(x) \in R$

Ratio · #8

kfd έγραψε:Mε ΠΟ το
πλάγια ασύμπτωτη;

αν βρούμε ένα τρόπο να ορίσουμε πλάγια ασύμπτωη όχι ως y=lx+k

με $l= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{x}$ να το συζητήσουμε
Δίνω μια λύση απαντώντας στα ερωτήματα . Και μένα με εντυπωσίασε η αναζήτηση πλάγιας ασύμπτωτης αλλά επειδή τα Μαθηματικά είναι απέραντα , δίνω τη λύση αναμένοντας και την θέση του θεματοδότη

kfd · #9

Christos.N · #10

Δεν ορίζεται η παραπάνω συνάρτηση γενικά στο $\displaystyle{R}$ , πράγματι αν συνέβαινε αυτό τότε:

$\displaystyle{|{x_o}| > 2 \Rightarrow {f^2}\left( {{x_0}} \right) + {x_0}f\left( {{x_0}} \right) + {x_0}^2 - 3 = 0 \Rightarrow {\left( {f({x_0}) - \frac{{{x_0}}}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\left( {4 - {x_0}^2} \right) = \frac{3}{4}\left( {4 - |{x_0}{|^2}} \right) < 0}$ , άτοπο.

δεν έχει νόημα λοιπόν η αναζήτηση

kfd έγραψε:Πρέπει να βρεθεί η f και στα $(-\infty ,-2),(2,+\infty )$

καθώς και

kfd έγραψε:Mε ΠΟ το
πλάγια ασύμπτωτη;

Δηλαδή το θέμα δέχεται πολλών διευκρινήσεων τόσο στα δεδομένα όσο και στα ζητούμενα.

kfd · #11

Nα βρεθεί το ευρύτερο διάστημα του $\Re$
καθώς και ο τύπος της συνάρτησης που ορίζεται από την ισότητα.... . Επίσης να φύγει η ερώτηση για ασύμπτωτο.

erxmer · #12

Τωρα που περίοριστηκε η συνάρτηση τα υπόλοιπα κυλάνε ομαλά.Η ασύμπτωτη αφαιρέθηκε ως μη έχουσα νόημα.

Σταμ. Γλάρος · #13

erxmer έγραψε:Δίνεται η δις παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: [-2,2] \to R$ ώστε $\displaystyle{f^2(x)+xf(x)+x^2-3=0, f(0)=\sqrt{3}}$

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Αν το είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης να βρεθεί η τιμή του

3) Να δειχθεί οτι η δεν έχει σημείο καμπής

4) $\displaystyle{\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( f^2(x)+xf(x) \right )^2dx}$

5) Να σχεδιαστεί η

Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά! Μια προσπάθεια... λίγο διαφορετικά από τα προηγούμενα, για το 1 και μετά για τα υπόλοιπα.
1) Έστω η συνάρτηση y=f(x)

. Από την δοθείσα προκύπτει η : y^2 + xy +x^2 - 3 = 0

,
δευτεροβάθμια ως προς

.
Πρέπει $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow -2\leq x \leq 2$ .
Άρα για $x \in [-2,2]$ είναι: $y_{1,2}= \dfrac{-x\pm\sqrt{3(4-x^2)}}{2} \Leftrightarrow$
$\left ( y+ \dfrac{x}{2} \right )^2= \dfrac{3(4-x^2)}{4}\Leftrightarrow \left ( f(x)+ \dfrac{x}{2} \right )^2= \dfrac{3(4-x^2)}{4}\Leftrightarrow \left | f(x) + \dfrac{x}{2} \right |= \dfrac{\sqrt{3(4-x^2)}}{2}$ .
Θεωρώ την $g(x) = f(x)+ \dfrac{x}{2} .$
Λύνω την εξίσωση $g(x) = 0 \Leftrightarrow g^2(x)=0 \Leftrightarrow 4-x^2 = 0 \Leftrightarrow x= \pm 2 .$
Άρα $g(x)\neq 0 ,\,\,\ x\in (-2,2)$ και αφού η

είναι συνεχής συμπεραίνουμε ότι διατηρεί πρόσημο
στο (-2, 2)

. Όμως $g(0) = f(0) =\sqrt{3}>0.$ Άρα $g(x)= \dfrac{\sqrt{3(4-x^2)}}{2}$ ,
οπότε: $f(x)=- \dfrac{x}{2} + \dfrac{ \sqrt{3(4-x^2)}}{2}$ , με πεδίο ορισμού A= [-2,2]

5) Πηγαίνοντας λίγο ... ανάποδα η

είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)= -\dfrac{1}{2}\left ( 1+\dfrac{3x}{\sqrt{3(4-x^2)}} \right ) = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3(4-x^2)}+3x}{\sqrt{3(4-x^2)}}$ .
Λύνω την ανίσωση : $\sqrt{3(4-x^2)}+3x \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{3(4-x^2)} \geq -3x$ (1)
Για $x \in (0, 2]$ η (1) ισχύει.
Για $x \in [-2, 0]$ η (1) ισοδυνάμως γράφεται : $3(4-x^2) \geq 9 x^2 \Leftrightarrow -1\leq x \leq 1$ .
Άρα για $x \in (-1, 2)$ είναι: $\sqrt{3(4-x^2)}+3x > 0$ , οπότε f'(x)<0

και η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1,2]

.
Επίσης για $x \in (-2, 1)$ είναι: f'(x)>0

και η

είναι γνησίως αύξουσα στο [-2,1]

.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η

παρουσιάζει στο

ολικό μέγιστο το f(-1)=2

.

Επιπλέον αφού f(-2)=1

και η

είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [-2,-1]

συμπεραίνουμε ότι f([-2,-1])=[1,2]

και αφού

, η

είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [-1,2]

,συμπεραίνουμε ότι f([-1,2])=[-1,2]

.

Ακόμη έχουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη με $f''(x)= -\dfrac{6}{(4-x^2) \sqrt{3(4-x^2)}}$ .
Άρα f''(x)<0

, οπότε η

είναι κοίλη.
Η γραφική της παράσταση φαίνεται παρακάτω.

: Nice.png (3.67 KiB) Προβλήθηκε 2708 φορές

4)Αν $I = \displaystyle{\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( f^2(x)+xf(x) \right )^2dx}$ από την δοθείσα προκύπτει:
$I = \displaystyle{\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( 3-x^2\right )^2dx = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left ( 9-6x^2 +x^4 \right )dx = ...$

Τώρα εύκολα προκύπτει ότι για a=-1

έχουμε ότι το

είναι κρίσιμο σημείο και μάλιστα θέση ακροτάτου
καθώς επίσης ότι η

δεν παρουσιάζει σημεία καμπής αφού είναι κοίλη.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Nice

Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Re: Nice

Μέλη σε σύνδεση