Μέγιστο εμβαδόν

Christos.N · #1

Στο παρακάτω σχήμα το οποίο παριστάνει έλλειψη κατασκευάσαμε ένα τρίγωνο του οποίου η μια κορυφή βρίσκεται σε μια εστία της οι άλλες δύο στην έλλειψη, ενώ η απέναντι πλευρά διέρχεται από την έτερη εστία της. Ζητάμε την κατάλληλη θέση του τριγώνου ώστε να πετυχαίνουμε το μέγιστο εμβαδόν.

Η επιλογή του φακέλου , θέλει να δείξει ότι μπορούμε να μεταχειριστούμε οποιοδήποτε εργαλείο χρειαζόμαστε.

: Καταγραφή4.PNG (12.77 KiB) Προβλήθηκε 1372 φορές

KARKAR · #2

: Ελλειπτικό.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 1346 φορές

Προφανώς $\tau=2a$ , συνεπώς $E=\sqrt{2amn(2a-m-n)}$ , με το υπόρριζο να

μεγιστοποιείται για m=n

(γιατί ; ) , δηλαδή όταν η MM'

είναι κάθετη στην EE'

Η λύση αποσύρεται : Η μεγιστοποίηση δεν επιτυγχάνεται για : m=n

#3

Christos.N έγραψε:Στο παρακάτω σχήμα το οποίο παριστάνει έλλειψη κατασκευάσαμε ένα τρίγωνο του οποίου η μια κορυφή βρίσκεται σε μια εστία της οι άλλες δύο στην έλλειψη, ενώ η απέναντι πλευρά διέρχεται από την έτερη εστία της. Ζητάμε την κατάλληλη θέση του τριγώνου ώστε να πετυχαίνουμε το μέγιστο εμβαδόν.Η επιλογή του φακέλου , θέλει να δείξει ότι μπορούμε να μεταχειριστούμε οποιοδήποτε εργαλείο χρειαζόμαστε.

Καταγραφή4.PNG

Καλησπέρα Χρήστο με το όμορφο αυτό πρόβλημα που έχει και όμορφη διερεύνηση δεν θέλει βιασύνη

$\bullet$ Αν το είναι δεν είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου με κέντρο το κέντρο της έλλειψης και διάμετρος το μικρό άξονα (δηλαδή αν ισχύει : $a\ge c\sqrt{2}$ (με $\left( E{E}' \right)=2c$ και το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης, τότε το αποτέλεσμα είναι αυτό που γράφει ο Θανάσης.

$\bullet$ Αν όμως το $a<c\sqrt{2}$ τότε τα για την μεγιστοποίηση του εμβαδού είναι τα σημεία τομής της (των , δύο λύσεις) εφαπτομένων ευθειών που διέρχονται από το στον κύκλο με κέντρο το της έλλειψης και διάμετρο το μικρό άξονα .

Η απόδειξη γίνεται με αρκετούς τρόπους και σωστά ο Χρήστος το τοποθέτησε στο φάκελο αυτό. Μια όμορφη απόδειξη (με λογιστικό περιεχόμενο) είναι με τη διευθετούσα της έλλειψης που αντιστοιχεί στην εστία ΄(με εξίσωση : $\left( \delta \right):x=\dfrac{{{a}^{2}}}{c}$ (στη δεύτερη περίπτωση που έχει και το ιδιαίτερο ενδιαφέρον ) αδιαφορώντας για τις εφαπτόμενες που περιγράφω πιο πάνω , αντιμετωπίζοντας το θέμα μόνο λογιστικά αφού οι εφαπτόμενες της έλλειψης στα σημεία , με $E\in M{M}'$ τέμνονται επί της $\left( \delta \right)$ (δηλαδή η είναι (διερχόμενη από την εστία της έλλειψης) η πολική τυχόντος σημείου της $\left( \delta \right)$ ) γνωστή πρόταση ζητώντας τη μεγιστοποίησης της ορθής προβολής του επί της $\left( \delta \right)$ , δηλαδή τη μεγιστοποίηση του $\left| {{y}_{M}}-{{y}_{{{M}'}}} \right|$ αφού είναι προφανές ότι το $\max \left( {E}'M{M}' \right)$ επιτυγχάνεται (βλέποντάς το ως το άθροισμα $\left( E{E}'M \right)+\left( E{E}'{M}' \right)$ (με κοινή βάση της ) όταν $d\left( M,E{E}' \right)+d\left( {M}',E{E}' \right)$ (το άθροισμα των υψών του) γίνει μέγιστο

Στάθης

Υ.Σ. Θα επανέλθω αύριο αν βρώ χρόνο για τις λεπτομέρειες

KARKAR · #4

: Ελλειπτικό 2.png (22.26 KiB) Προβλήθηκε 1242 φορές

Η έλλειψη του σχήματος έχει : a=5 , b=3 , c=4

, δηλαδή ισχύει το : $a<c\sqrt{2}$ και πράγματι

το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν το

είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης από την

προς τον κύκλο με διάμετρο τον μικρό άξονα , όπως σωστά επισημαίνει ο Στάθης .

Ο τύπος του εμβαδού ( $E=\sqrt{2amn(2a-m-n)}$ ) , που έδωσα στην πρώτη μου ανάρτηση

είναι σωστός . Το λάθος λοιπόν βρίσκεται στον ισχυρισμό , ότι η μεγιστοποίηση επιτυγχάνεται

όταν m=n

. Αυτό το θεώρησα προφανές και θα ίσχυε όντως , αν αντί για έλλειψη

είχαμε κύκλο , οπότε το

θα ήταν σταθερό , ενώ το m+n

θα γίνονταν

ελάχιστο αν $MM' \perp E'E$ . Στην έλλειψη όμως αυτό δεν ισχύει ...

#5

Christos.N έγραψε:Στο παρακάτω σχήμα το οποίο παριστάνει έλλειψη κατασκευάσαμε ένα τρίγωνο του οποίου η μια κορυφή βρίσκεται σε μια εστία της οι άλλες δύο στην έλλειψη, ενώ η απέναντι πλευρά διέρχεται από την έτερη εστία της. Ζητάμε την κατάλληλη θέση του τριγώνου ώστε να πετυχαίνουμε το μέγιστο εμβαδόν.
Η επιλογή του φακέλου , θέλει να δείξει ότι μπορούμε να μεταχειριστούμε οποιοδήποτε εργαλείο χρειαζόμαστε.
Καταγραφή4.PNG

Τελικά αποφάσισα να δώσω μια λύση και για τις δύο περιπτώσεις όπως προκύπτει από τη διερεύνηση

Έστω $\left( \varepsilon \right):y=\lambda \left( x-c \right),\lambda \ne 0$ (διερχόμενη από την εστία $E\left( c,0 \right)$ της έλλειψης $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ .

Τότε οι συντεταγμένες των θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος $\left\{ \begin{gathered} y = \lambda \left( {x - c} \right) \hfill \\ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\lambda \ne 0} \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{y + \lambda c}}{\lambda } \hfill \\ {b^2}{\left( {\dfrac{{y + \lambda c}}{\lambda }} \right)^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{y + \lambda c}}{\lambda } \hfill \\ {b^2}\dfrac{{{y^2} + 2c\lambda y + {\lambda ^2}{c^2}}}{{{\lambda ^2}}} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{y + \lambda c}}{\lambda } \hfill \\ \boxed{\left( {{b^2} + {a^2}{\lambda ^2}} \right){y^2} + 2{b^2}c\lambda y + {b^2}{\lambda ^2}\left( {{c^2} - {a^2}} \right) = 0}:\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow$

Η εξίσωση $\left( 1 \right)$ έχει ρίζες ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ (τις τεταγμένες των αντίστοιχα) με ${y_1} + {y_2} = - \dfrac{{2{b^2}c\lambda }}{{{b^2} + {a^2}{\lambda ^2}}}$ και ${y_1} \cdot {y_2} = \dfrac{{{b^2}{\lambda ^2}\left( {{c^2} - {a^2}} \right)}}{{{b^2} + {a^2}{\lambda ^2}}}$

Με $\left( {EMM'} \right) = \left( {EME'} \right) + \left( {EM'E'} \right) =$ $\dfrac{1}{2}\left( {EE'} \right)\left| {{y_M}} \right| + \dfrac{1}{2}\left( {EE'} \right)\left| {{y_{M'}}} \right| =$

$\dfrac{1}{2}\left( {EE'} \right)\left( {\left| {{y_M}} \right| + \left| {{y_{M'}}} \right|} \right)\mathop = \limits^{{y_M} \cdot {y_{M'}} \leqslant 0} \dfrac{1}{2}\left( {EE'} \right)\left| {{y_M} - {y_{M'}}} \right|$ και επομένως η μεγιστοποίησή του θα προκύψει (αφού $\left( E{E}' \right)$ παραμένει σταθερό αν μεγιστοποιηθεί η παράσταση

$\left| {{y_M} - {y_{M'}}} \right|$ ή ισοδύναμα η παράσταση $k = {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = {\left( {{y_1} + {y_2}} \right)^2} - 4{y_1}{y_2} =$ ${\left( { - \dfrac{{2{b^2}c\lambda }}{{{b^2} + {a^2}{\lambda ^2}}}} \right)^2} - 4\dfrac{{{b^2}{\lambda ^2}\left( {{c^2} - {a^2}} \right)}}{{{b^2} + {a^2}{\lambda ^2}}}$

$\Leftrightarrow k{\left( {{b^2} + {a^2}{\lambda ^2}} \right)^2} - 4{b^4}{c^2}{\lambda ^2} +$ $4{b^2}{\lambda ^2}\left( {{c^2} - {a^2}} \right)\left( {{b^2} + {a^2}{\lambda ^2}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow k{b^4} + 2{a^2}{b^2}k{\lambda ^2} + k{a^4}{\lambda ^4} - 4{b^4}{c^2}{\lambda ^2} +$ $4{c^2}{b^4}{\lambda ^2} + 4{a^2}{b^2}{c^2}{\lambda ^4} - 4{a^2}{b^4}{\lambda ^2} - 4{a^4}{b^2}{\lambda ^4} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {k{a^4} + 4{a^2}{b^2}{c^2} - 4{a^4}{b^2}} \right){\lambda ^4} +$ $2\left( {{a^2}{b^2}k - 2{a^2}{b^4}} \right){\lambda ^2} + k{b^4} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\lambda ^2} = m}$

$\boxed{\left( {k{a^4} + 4{a^2}{b^2}{c^2} - 4{a^4}{b^2}} \right){m^2} + 2\left( {{a^2}{b^2}k - 2{a^2}{b^4}} \right)m + k{b^4} = 0}:\left( 2 \right)$ .

Για να έχει η $\left( 2 \right)$ δύο ρίζες ως προς πρέπει η διακρίνουσα $D \geqslant 0 \Leftrightarrow$

${\left[ {2\left( {{a^2}{b^2}k - 2{a^2}{b^4}} \right)} \right]^2} -$ $4k{b^4}\left( {k{a^4} + 4{a^2}{b^2}{c^2} - 4{a^4}{b^2}} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow$

$4{b^4}{a^4}{\left( {k - 2{b^2}} \right)^2} -$ $4k{b^4}{a^2}\left( {k{a^2} + 4{b^2}{c^2} - 4{a^2}{b^2}} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow$

$4{k^2}{b^4}{a^4} - 16{a^4}{b^6}k + 16{b^8}{a^4}$ $- 4{k^2}{b^4}{a^4} - 16{a^2}{b^6}{c^2}k + 16{a^4}{b^6}k \geqslant 0$ $\Leftrightarrow k \leqslant \dfrac{{16{b^8}{a^4}}}{{16{a^2}{b^6}{c^2}}} \Leftrightarrow k \leqslant \dfrac{{{b^2}{a^2}}}{{{c^2}}}$ .

Με $\max \left( {EMM'} \right) = \sqrt k = \dfrac{{ab}}{c}$ για $0 < m = - \dfrac{{2\left( {{a^2}{b^2}\dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}} - 2{a^2}{b^4}} \right)}}{{2\left( {\dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}}{a^4} + 4{a^2}{b^2}{c^2} - 4{a^4}{b^2}} \right)}} = \dfrac{{2{a^2}{b^4}{c^2} - {a^4}{b^4}}}{{{a^6}{b^2} + 4{a^2}{b^2}{c^4} - 4{a^4}{b^2}{c^2}}}$

$= \dfrac{{{a^2}{b^4}\left( {2{c^2} - {a^2}} \right)}}{{{a^2}{b^2}\left( {{a^4} - 4{a^2}{c^2} + 4{c^4}} \right)}} \Rightarrow$ $0 < m = \dfrac{{{b^2}\left( {2{c^2} - {a^2}} \right)}}{{{{\left( {{a^2} - 2{c^2}} \right)}^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{a < c\sqrt 2 } m = \dfrac{{{b^2}}}{{2{c^2} - {a^2}}} =$

$\dfrac{{{b^2}}}{{{a^2} - 2{b^2}}} \Rightarrow \boxed{\lambda = \pm \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} - 2{b^2}} }}}$ . Αρα $\left( \varepsilon \right):y = \pm \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} - 2{b^2}} }}\left( {x - c} \right)$ .

Αν $a\ge \sqrt{2}c$ τότε η εξίσωση $\left( 2 \right)$ είναι αδύνατη ως προς άρα και ως προς $\lambda =\pm \sqrt{m}$ και συνεπώς η ζητούμενη ευθεία δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης και τα σημεία τομής (για τη μεγιστοποίηση του εμβαδού του τριγώνου $\vartriangle EM{M}'$ ) προκύπτουν ως τα σημεία τομής της ευθείας με την έλλειψη.

Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι το μέγιστο θα παρατηρηθεί από την επαφή της διερχόμενης (όταν $a<c\sqrt{2}$ ) από την εστία εφαπτόμενης (εφαπτομένων ) στον κύκλο με διάμετρο το μικρό άξονα της έλλειψης αφού εύκολα διαπιστώνεται ότι $d\left( O,\left( \varepsilon \right) \right)=b$

Στάθης

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση