Θεωρητική ή όχι...

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Θεωρητική ή όχι...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Απρ 09, 2017 1:35 am

Μια κατασκευή, αφιερωμένη στον Τόλη!

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} για τις οποίες ισχύουν:
\displaystyle{\left ( f\circ f \right )(x)+\left ( g\circ f \right )(x)=2x \hspace{5mm} (1)}

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty \hspace{5mm}(2)}
(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

Αν, επιπλέον, δίδεται ότι \displaystyle{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f\left ( \frac{1}{x} \right )=+\infty }, τότε:

(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και ότι για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:
\displaystyle{\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{f(x)+g(x)}{2}} (γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f-g τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο M\left ( \xi ,0 \right ) με \xi \in \mathbb{R}, αν και μόνο αν, ο αριθμός \xi είναι ρίζα της εξίσωσης:
\displaystyle{f\left ( f\left ( f^{-1}(x)-f(x) \right ) \right )+g\left ( f(0) \right )=0} (δ) Αν, επιπλέον, γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε x,y\in \mathbb{R} ισχύει η σχέση:
\displaystyle{\displaystyle \left ( f\circ f \right )(y)+\left ( g\circ f \right )(x)\leqslant \left ( x-y \right )^{2}+x+y} Να προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων f,g.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Θεωρητική ή όχι...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Απρ 09, 2017 3:13 am

M.S.Vovos έγραψε:Μια κατασκευή, αφιερωμένη στον Τόλη!

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} για τις οποίες ισχύουν:
\displaystyle{\left ( f\circ f \right )(x)+\left ( g\circ f \right )(x)=2x \hspace{5mm} (1)}

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty \hspace{5mm}(2)}
(α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

Αν, επιπλέον, δίδεται ότι \displaystyle{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f\left ( \frac{1}{x} \right )=+\infty }, τότε:

(β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και ότι για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:
\displaystyle{\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{f(x)+g(x)}{2}} (γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f-g τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο M\left ( \xi ,0 \right ) με \xi \in \mathbb{R}, αν και μόνο αν, ο αριθμός \xi είναι ρίζα της εξίσωσης:
\displaystyle{f\left ( f\left ( f^{-1}(x)-f(x) \right ) \right )+g\left ( f(0) \right )=0} (δ) Αν, επιπλέον, γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε x,y\in \mathbb{R} ισχύει η σχέση:
\displaystyle{\displaystyle \left ( f\circ f \right )(y)+\left ( g\circ f \right )(x)\leqslant \left ( x-y \right )^{2}+x+y} Να προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων f,g.

Φιλικά,
Μάριος
...όσο αντέχουμε...

(α) Από \displaystyle{\left ( f\circ f \right )(x)+\left ( g\circ f \right )(x)=2x \hspace{5mm} (1)} παραγωγίζοντας προκύπτει ότι

{f}'(f(x)){f}'(x)+{g}'(f(x)){f}'(x)=2\ne 0 επομένως ισχύει {f}'(x)\ne 0,\,\,\,x\in Rκαι από γνωστό θεώρημα Darboux

( εκτός σχολικής ύλης, και η χρησιμοποίηση του θέλει απόδειξη..)

η {f}' διατηρεί σταθερό το πρόσημο στο R και αν {f}'(x)<0,\,\,\,x\in R η f γνήσια φθίνουσα στο R και άρα

f(R)=(\underset{x\to +\infty[/b] }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,-\infty )

που είναι άτοπο, άρα {f}'(x)>0,\,\,\,x\in R επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

(β) Από \displaystyle{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f\left ( \frac{1}{x} \right )=+\infty } ή \underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( u \right)=+\inftyκαι επειδή

f(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)) θα είναι

f(R)=(-\infty ,\,\,+\infty )=R και f είναι '1-1' άρα αντιστρέφεται με {{f}^{-1}}:R\to R και με όπου x το {{f}^{-1}}(x),\,\,x\in R

στην αρχική ισότητα προκύπτει ότι

f(f({{f}^{-1}}(x)))+g(f({{f}^{-1}}(x)))=2{{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(x)+g(x)=2{{f}^{-1}}(x) ή \displaystyle{\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{f(x)+g(x)}{2}}

(γ) Όταν η f-gτέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο M\left ( \xi ,0 \right ) με \xi \in \mathbb{R}, ισχύει ότι

f(\xi )=g(\xi ) και τότε από (2) {{f}^{-1}}(\xi )=\frac{f(\xi )+g(\xi )}{2}=f(\xi ) άρα στην

\displaystyle{f\left ( f\left ( f^{-1}(x)-f(x) \right ) \right )+g\left ( f(0) \right )=0} με όπου xτο \xi προκύπτει ότι

f\left( f\left( {{f}^{-1}}(\xi )-f(\xi ) \right) \right)+g\left( f(0) \right)=0\Rightarrow f(f(0))+g(f(0))=0 που ισχύει λόγω της αρχικής ισότητας.

Τώρα αν \xi \in \mathbb{R} με f\left( f\left( {{f}^{-1}}(\xi )-f(\xi ) \right) \right)+g\left( f(0) \right)=0\Rightarrow f\left( f\left( {{f}^{-1}}(\xi )-f(\xi ) \right) \right)=-g(f(0))

και λόγω της αρχικής σχέσης f(f(0))=-g(f(0)) και τότε f\left( f\left( {{f}^{-1}}(\xi )-f(\xi ) \right) \right)=f(f(0)) ή fείναι '1-1'

και τότε f\left( {{f}^{-1}}(\xi )-f(\xi ) \right)=f(0)\Rightarrow {{f}^{-1}}(\xi )-f(\xi )=0\Rightarrow {{f}^{-1}}(\xi )=f(\xi ) και από

{{f}^{-1}}(\xi )=\frac{f(\xi )+g(\xi )}{2}\Rightarrow f(\xi )=\frac{f(\xi )+g(\xi )}{2}\Rightarrow f(\xi )=g(\xi )

...και η συνέχεια....

δ)Επειδή από (1)g(f(x))=2x-f(f(x)),\,\,x\in Rπροκύπτει από

\displaystyle{\displaystyle \left ( f\circ f \right )(y)+\left ( g\circ f \right )(x)\leqslant \left ( x-y \right )^{2}+x+y} ότι

f(f(y))+2x-f(f(x))\le {{(x-y)}^{2}}+x+y ή

f(f(y))-f(f(x))\le {{(x-y)}^{2}}-x+y ή (f\circ f)(y)-(f\circ f)(x)\le {{(x-y)}^{2}}-x+y,\,\,\,x,\,y\in R

ή (f\circ f)(x)-(f\circ f)({{x}_{0}})\le {{({{x}_{0}}-x)}^{2}}-{{x}_{0}}+x,\,\,\,x,\,{{x}_{0}}\in R

και τώρα με x<{{x}_{0}} έχουμε \frac{(f\circ f)(x)-(f\circ f)({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\ge x-{{x}_{0}}+1 οπότε

\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(f\circ f)(x)-(f\circ f)({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\ge \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,(x-{{x}_{0}}+1)\Rightarrow (f\circ f{)}'({{x}_{0}})\ge 1

και με x>{{x}_{0}} έχουμε \frac{(f\circ f)(x)-(f\circ f)({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\le x-{{x}_{0}}+1 οπότε

\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(f\circ f)(x)-(f\circ f)({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\le \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,(x-{{x}_{0}}+1)\Rightarrow (f\circ f{)}'({{x}_{0}})\le 1

άρα για την παραγωγίσιμη f\circ f ως σύνθεση παραγωγίσιμων ισχύει ότι

(f\circ f{)}'(x)=1,\,\,\,x\in R άρα (f\circ f)(x)=x+c,\,\,\,x\in R και επειδή f(0)=0 προκύπτει ότι (f\circ f)(x)=x,\,\,\,x\in R

Αν τώρα υπάρχει {{x}_{0}}\in R ώστε f({{x}_{0}})\ne {{x}_{0}} τότε f({{x}_{0}})>{{x}_{0}} ή f({{x}_{0}})<{{x}_{0}}

και αντίστοιχα αφού f γνήσια αύξουσα f(f({{x}_{0}}))>f({{x}_{0}})\Rightarrow {{x}_{0}}>f({{x}_{0}}) που είναι άτοπο

ή f(f({{x}_{0}}))<f({{x}_{0}})\Rightarrow {{x}_{0}}<f({{x}_{0}}) που είναι άτοπο

άρα f(x)=x,\,\,\,x\in R και από (1) προκύπτει και g(x)=x,\,\,\,x\in R


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από KAKABASBASILEIOS σε Κυρ Απρ 09, 2017 12:00 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Θεωρητική ή όχι...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 09, 2017 8:44 am

M.S.Vovos έγραψε: Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} για τις οποίες ισχύουν:
KAKABASBASILEIOS έγραψε:(α) Από \displaystyle{\left ( f\circ f \right )(x)+\left ( g\circ f \right )(x)=2x \hspace{5mm} (1)} παραγωγίζοντας προκύπτει ότι
Η παραγωγισιμότητα δεν χρειάζεται, και μπορεί να παραληφθεί:

Π.χ. για το α) αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι 1-1. Έστω λοιπόν f(a)=f(b). Τότε

\displaystyle{2a=  f (f(a)) + g (f(a)) = f (f(b)) + g (f(b)) =2b  } από όπου a=b.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θεωρητική ή όχι...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 09, 2017 5:38 pm

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
f(f(y))+2x-f(f(x))\le {{(x-y)}^{2}}+x+y

προκύπτει ότι (f\circ f)(x)=x,\,\,\,x\in R

Αν τώρα υπάρχει {{x}_{0}}\in R ώστε f({{x}_{0}})\ne {{x}_{0}} τότε f({{x}_{0}})>{{x}_{0}} ή f({{x}_{0}})<{{x}_{0}}

και αντίστοιχα αφού f γνήσια αύξουσα f(f({{x}_{0}}))>f({{x}_{0}})\Rightarrow {{x}_{0}}>f({{x}_{0}}) που είναι άτοπο

ή f(f({{x}_{0}}))<f({{x}_{0}})\Rightarrow {{x}_{0}}<f({{x}_{0}}) που είναι άτοπο

άρα f(x)=x,\,\,\,x\in R και από (1) προκύπτει και g(x)=x,\,\,\,x\in R


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
Γεια σου Βασίλη .Θα δείξω πως από την πρώτη σχέση των παραπάνω πάμε στην δεύτερη
με διαφορετικό τρόπο από τον δικό σου.
Αν θέσουμε q(x)=f(f(x))-x η πρώτη σχέση γράφεται q(y)-q(x)\leq (y-x)^{2}
Προκύπτει εύκολα ότι \left | q(y)-q(x) \right |\leq (x-y)^{2}
και από άσκηση του σχολικού η αλλιώς προκύπτει ότι q(x)=c και μετά q(x)=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης