Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 874
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Απρ 07, 2017 4:59 pm

Μια απογευματινή κατασκευή.
Έστω η συνεχής και άρτια συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow [0,+\infty ). Αν F είναι η παράγουσα της f, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:
\displaystyle{\left (F\circ f  \right )(x)+F\left ( \ln\frac{1}{x^{2}+1} \right )=0}, τότε: (α.i) Να αποδείξετε ότι η F είναι περιττή στο \mathbb{R}.
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι f(x)=\ln\left ( x^{2}+1 \right ), x\in \mathbb{R}.

(β) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη στα (-\infty ,0] και [0,+\infty ) και να βρείτε τον τύπο της f^{-1} στα εν λόγω διαστήματα. Είναι η f αντιστρέψιμη στο \mathbb{R}?

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f τον άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=-1 αν γνωρίζετε ότι:
\displaystyle \int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^{x}-1}dx=2-\frac{\pi }{2} Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3913
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 07, 2017 6:25 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Μια απογευματινή κατασκευή.
Έστω η συνεχής και άρτια συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow [0,+\infty ). Αν F είναι η παράγουσα της f, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει:
\displaystyle{\left (F\circ f  \right )(x)+F\left ( \ln\frac{1}{x^{2}+1} \right )=0}, τότε: (α.i) Να αποδείξετε ότι η F είναι περιττή στο \mathbb{R}.
(α.ii.) Να αποδείξετε ότι f(x)=\ln\left ( x^{2}+1 \right ), x\in \mathbb{R}.

(β) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη στα (-\infty ,0] και [0,+\infty ) και να βρείτε τον τύπο της f^{-1} στα εν λόγω διαστήματα. Είναι η f αντιστρέψιμη στο \mathbb{R}?

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f τον άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=-1 αν γνωρίζετε ότι:
\displaystyle \int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^{x}-1}dx=2-\frac{\pi }{2} Φιλικά,
Μάριος
Ολίγον τι ψαρωτικό θεματάκι μέχρις να πιάσεις τη φιλοσοφία του! Κατά τα άλλα κυλάει ομαλά.

(α.ι) Εφόσον η γραφική παράσταση της {\rm F} περνάει από την αρχή των αξόνων θα είναι {\rm F}(0)=0. Τότε επειδή η f είναι άρτια θα ισχύει ότι για κάθε x \in \mathbb{R} θα είναι και -x \in \mathbb{R} καθώς και
\displaystyle{f(x)=f(-x) \quad \text{\gr για κάθε} \;  x \in \mathbb{R}} Κατά συνέπεια θα είναι \left ( {\rm F}(x) \right )' = \left ( -{\rm F}(-x) \right ) ' και άρα {\rm F(x) = -{\rm F}(-x) + c . Επειδή όμως {\rm F}(0)=0 θα είναι εν τέλει c=0 και άρα {\rm F(x) = -{\rm F}(-x) οπότε η {\rm F} είναι τελικά περιττή.

(α.ii) Η {\rm F} ως παράγουσα της συνεχούς f είναι παραγωγίσιμη με {\rm F}'(x)=f(x) \geq 0. Συνεπώς είναι γνήσια αύξουσα και άρα 1-1. Η δοσμένη σχέση δίδει:
\displaystyle{\begin{aligned} 
{\rm F}\left ( f(x) \right ) + {\rm F} \left ( \ln \frac{1}{x^2+1} \right ) =0 &\Leftrightarrow {\rm F}\left ( f(x) \right ) +{\rm F}\left ( -\ln \left ( x^2+1 \right ) \right ) =0 \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\overset{{\rm F} \; \text{\gr περιττή}}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! =\!  \Rightarrow} {\rm F}\left ( f(x) \right )-{\rm F}\left ( \ln \left ( x^2+1 \right ) \right ) =0   \\  
 &\Leftrightarrow {\rm F}\left ( f(x) \right ) = {\rm F}\left ( \ln \left ( x^2+1 \right ) \right ) \\  
 &\!\!\!\!\overset{{\rm F} \; \; \begin{tikzpicture} 
\draw [thick , >->] (0, 0) -- (0, 0.3); 
\end{tikzpicture}}{ \Leftarrow \! =\!  \Rightarrow} f(x) = \ln \left ( x^2+1 \right ) \quad , \quad x \in \mathbb{R} 
\end{aligned}} (β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με παράγωγο \displaystyle{f'(x)=\frac{2x}{x^2+1} , \; x \in \mathbb{R}. Είναι f'(0)=0. Επίσης f'(x) \geq 0 για κάθε x \geq 0. Άρα στο [0, +\infty) η f είναι γνήσια αύξουσα ενώ στο (-\infty, 0] η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα. Συνεπώς σε καθένα από τα διαστήματα [0, +\infty) και (-\infty, 0] είναι η f αντιστρέψιμη. Στο \mathbb{R} δε μπορεί να είναι αφού f(1)=f(-1) λόγω αρτιότητας.

Ας βρούμε την αντίστροφη στο [0, +\infty). Θέτουμε y=f(x) και τότε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
y=f(x) &\Leftrightarrow y = \ln \left ( x^2+1 \right ) \\  
 &\Leftrightarrow e^y = x^2 +1 \\  
 &\Leftrightarrow x^2 = e^y -1\\  
 &\Leftrightarrow x = \sqrt{e^y-1} 
\end{aligned}} Συνεπώς η αντίστροφη στο [0, +\infty) ο τύπος της αντίστροφης είναι ο f^{-1}(y)=\sqrt{e^y-1}, \; y \geq 0.

(γ) Το εμβαδόν του χωρίου \Omega που περικλείεται της γραφικής παράστασης , των αξόνων και της ευθείας x=-1 δίδεται του τύπου
\displaystyle{{\rm E}\left ( \Omega  \right ) = \int_{-1}^{0} \left | f(x) \right | \, {\rm d}x} Όμως f(x) \geq 0 για κάθε x \in \mathbb{R} αφού x^2 + 1 \geq 1 και κατά συνέπεια \ln (x^2 +1) \geq 0. Άρα:
\displaystyle{\begin{aligned} 
{\rm E}\left ( \Omega  \right ) &= \int_{-1}^{0} f(x) \, {\rm d}x \\  
 &= \int_{-1}^{0} \ln \left ( x^2+1 \right ) \, {\rm d}x\\  
 &=\int_{0}^{1} \ln \left ( x^2+1 \right ) \, {\rm d}x \\  
 &= \left [ x \ln \left ( x^2+1 \right ) \right ]_0^1 - 2\int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^2+1} \, {\rm d}x \\  
 &= \ln 2 - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^2+1-1}{x^2+1} \, {\rm d}x\\  
 &=  \ln 2  - 2 \int_{0}^{1} \left ( 1 - \frac{1}{x^2+1} \right ) \, {\rm d}x \\ 
 &= \ln 2 - 2 + 2 \int_{0}^{1} \frac{{\rm d}x}{x^2+1} \\ 
 &= \ln 2 - 2 + \frac{2 \pi}{4} \\ 
 &= \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2} \approx 0.26394 
\end{aligned}} (*) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος \displaystyle{\int_0^1 \frac{ {\rm d}x}{x^2+1}} θέτουμε x=\tan y και καταλήγουμε στο \frac{\pi}{4} που βγαλα πάνω.

Υ.Σ: Το ολοκλήρωμα που δίδεται πάνω δε μπόρεσα να το χρησιμοποιήσω ... οπότε αναγκάστηκα να αλλάξω γραμμή πλεύσης.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Απρ 07, 2017 6:45 pm

Αν στο ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{\ln\,2}\sqrt{e^x-1}\,\mathrm{d}x} , κάνεις την αντικατάσταση

\displaystyle{u=\sqrt{e^x-1}} , βρίσκεις

\displaystyle{\int_{0}^{\ln\,2}\sqrt{e^x-1}\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\dfrac{2\,u^2}{u^2+1}\,\mathrm{d}u=2-\dfrac{\pi}{2}...


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3913
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 07, 2017 6:49 pm

Έπρεπε να κάνω δηλαδή πράξεις ; Μπα, δε θα παιρνα.. Νόμισα θα βγει από μόνο του κάπου κατά τη διάρκεια του υπολογισμού αλλά αφού δε βγήκε , τι να κάνω ; :) :D


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Απρ 07, 2017 9:30 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Έπρεπε να κάνω δηλαδή πράξεις ; Μπα, δε θα παιρνα.. Νόμισα θα βγει από μόνο του κάπου κατά τη διάρκεια του υπολογισμού αλλά αφού δε βγήκε , τι να κάνω ; :) :D
Μα αυτή η αντικατάσταση σε γλιτώνει από τις πράξεις.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1662
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Εύρεση συνάρτησης και εμβαδόν

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Απρ 07, 2017 9:57 pm

Να δούμε δηλαδή το λήμμα:

Έστω \displaystyle{f} συνεχής με συνεχή παράγωγο στο \displaystyle{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} . αν η \displaystyle{f} αντιστρέφεται και η αντίστροφη είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της τότε :

\displaystyle{\int\limits_\alpha ^\beta  {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_{f\left( \alpha  \right)}^{f\left( \beta  \right)} {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \,dx = \left[ {xf\left( x \right)} \right]_\alpha ^\beta }

Εφαρμογή:

\displaystyle{\int\limits_0^1 {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \,dx + \int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} } dx = \left[ {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]_0^1}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες