Διπλές

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Διπλές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Σάβ Μαρ 18, 2017 2:17 pm

∆ίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle{f(x)=\frac{1}{x-1}, x \neq 1}, μία αρχική της fη F, x \geq 2 και η συνάρτηση G, x \geq 2. Η G είναι αρχική της F.

1) Να βρείτε το πεδίο ορισµού τωνF, G και να δείξετε ότι
G(x) = (x-1)ln(x-1)-x + 2

2) Να µελετήσετε την G ως προς τη µονοτονία και τα κοίλα.

3) Να βρείτε το εµβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη C_G , τον άξονα x'x και τις
ευθείες x = 2, x = 3.

4) Να βρείτε το \displaystyle{\lim_{x \to 2}\frac{G(x)}{x-2}} και το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{G^{-1}(x)}{lnx}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4003
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διπλές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μαρ 18, 2017 11:50 pm

erxmer έγραψε:∆ίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle{f(x)=\frac{1}{x-1}, x \neq 1}, μία αρχική της fη F, x \geq 2 και η συνάρτηση G, x \geq 2. Η G είναι αρχική της F.

1) Να βρείτε το πεδίο ορισµού τωνF, G και να δείξετε ότι
G(x) = (x-1)ln(x-1)-x + 2

2) Να µελετήσετε την G ως προς τη µονοτονία και τα κοίλα.

3) Να βρείτε το εµβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη C_G , τον άξονα x'x και τις
ευθείες x = 2, x = 3.

4) Να βρείτε το \displaystyle{\lim_{x \to 2}\frac{G(x)}{x-2}} και το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{G^{-1}(x)}{lnx}}
Είναι F\left( x \right) = \int\limits_2^x {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_2^x {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_2^x {\dfrac{1}{{t - 1}}dt}  = \left[ {\ln \left( {t - 1} \right)} \right]_2^x = \ln \left( {x - 1} \right) \Rightarrow \boxed{F\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right),x \in \left[ {2, + \infty } \right)}.

και G\left( x \right) = \int\limits_2^x {F\left( t \right)dt}  = \int\limits_2^x {\ln \left( {t - 1} \right)dt}  = \left[ {t\ln \left( {t - 1} \right)} \right]_2^x - \int\limits_2^x {\dfrac{t}{{t - 1}}dt}  = x\ln \left( {x - 1} \right) - \int\limits_2^x {\dfrac{{t - 1 + 1}}{{t - 1}}dt}  =

x\ln \left( {x - 1} \right) - \int\limits_2^x {\left( {1 + \dfrac{1}{{t - 1}}} \right)dt}  = x\ln \left( {x - 1} \right) - \left[ {t + \ln \left( {t - 1} \right)} \right]_2^x = x\ln \left( {x - 1} \right) - \left( {x + \ln \left( {x - 1} \right) - 2} \right)

= x\ln \left( {x - 1} \right) - x - \ln \left( {x - 1} \right) + 2 \Rightarrow \boxed{G\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 2,x \in \left[ {2, + \infty } \right)}.

2) Είναι G'\left( x \right) = F\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right),x \in \left[ {2, + \infty } \right). Για x > 2 \Rightarrow x - 1 > 1 \Rightarrow \ln \left( {x - 1} \right) > 0 \Rightarrow G'\left( x \right) > 0

,\forall x \in \left( {2, + \infty } \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{G\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,(\omega \varsigma \,\,\pi \alpha \rho \alpha \gamma \omega \gamma \iota \sigma \iota \mu \eta )\,\,\sigma \tau o\,\,\left[ {2, + \infty } \right)} G γνησίως αύξουσα και

G''\left( x \right) = f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 1}},x \in \left[ {2, + \infty } \right) για την οποία ισχύει προφανώς G''\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {2, + \infty } \right) \Rightarrow G κυρτή.

3) Με G γνησίως αύξουσα θα είναι \forall x \geqslant 2\mathop  \Rightarrow \limits^{G \uparrow \,\,} G\left( x \right) \geqslant G\left( 2 \right) = \ln 1 - 2 + 2 = 0 \Rightarrow

E = \int\limits_2^3 {G\left( x \right)dx}  = \int\limits_2^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 2} \right]dx}  = \int\limits_2^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right)} \right]dx}  + \int\limits_2^3 {\left( { - x + 2} \right)dx}  =

\int\limits_2^3 {\left[ {{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right)}^\prime }\ln \left( {x - 1} \right)} \right]dx}  + \left[ { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right]_2^3 = \left[ {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right)\ln \left( {x - 1} \right)} \right]_2^3 - \int\limits_2^3 {\left[ {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right) \cdot \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]dx}  + \left( { - \dfrac{9}{2} + 6 + 2 - 4} \right) =

\left( {\dfrac{9}{2} - 3} \right)\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}dx}  - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - 2x + 1 - 1}}{{x - 1}}dx}  - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 1}}dx}  - \dfrac{1}{2}

= \dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^3 {\left[ {x - 1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]dx}  - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left( {x - 1} \right)} \right]_2^3 - \dfrac{1}{2}

= \dfrac{3}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{9}{2} - 3 - \ln 2} \right) - 2} \right] - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \ldots \boxed{E = 2\ln 2 - \dfrac{1}{4}} τ.μ

4) \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{G\left( x \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x - 1} \right)\dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}} - 1} \right] \mathop  = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}\mathop  = \limits^{\dfrac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{x - 1}} = 1} 1 \cdot 1 - 1 \Rightarrow \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{G\left( x \right)}}{{x - 2}} = 0}.

Είναι \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } G\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {x - 1} \right)\ln \left( {x - 1} \right) - x + 2} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {x - 1} \right)\left[ {\ln \left( {x - 1} \right) - 1} \right] + 1} \right] \mathop  = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x - 1} \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\ln \left( {x - 1} \right) - 1} \right] =  + \infty }  + \infty

Αρα x \to  + \infty \mathop  \Leftrightarrow \limits^{G \uparrow } G\left( x \right) \to  + \infty. Θέτουμε x = G\left( u \right) και έχουμε

\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{G^{ - 1}}\left( x \right)}}{{\ln x}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } \dfrac{{{G^{ - 1}}\left( {G\left( u \right)} \right)}}{{\ln G\left( u \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } \dfrac{u}{{\ln \left[ {\left( {u - 1} \right)\ln \left( {u - 1} \right) - u + 2} \right]}}\mathop  = \limits^{\dfrac{{ + \infty }}{{ + \infty }},De\,\,L'\,Hospital} \mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } \dfrac{1}{{\dfrac{{\ln \left( {u - 1} \right)}}{{\left( {u - 1} \right)\ln \left( {u - 1} \right) - u + 2}}}}

= \mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } \dfrac{{\left( {u - 1} \right)\ln \left( {u - 1} \right) - u + 2}}{{\ln \left( {u - 1} \right)}}\mathop  = \limits^{\dfrac{{ - \infty }}{{ + \infty }},De\,\,L'\,Hospital} \mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } \dfrac{{\ln \left( {u - 1} \right) + 1 - 1}}{{\dfrac{1}{{u - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } \left[ {\left( {u - 1} \right)\ln \left( {u - 1} \right)} \right] =  + \infty \Rightarrow \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{G^{ - 1}}\left( x \right)}}{{\ln x}} =  + \infty }.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες