Θεωρητική

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Θεωρητική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Σάβ Φεβ 25, 2017 3:50 pm

Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R \to R ώστε η f να είναι γνήσια αύξουσα και η g να είναι γνήσια φθίνουσα στο R. Aν F,G είναι αρχικές τους και υπάρχει x_0>0 ώστε F(x_0)=G(x_0) και F(0)=G(0)=0δείξτε οτι:

1) Η F είναι κυρτή και η G κοίλη

2) H συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0} είναι γνήσια αύξουσα

3) \displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y \in (0,x_0)}

Yγ ελπίζω μετα τις αλλαγές που προτείνατε να μην έχει κάτι άλλο...
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Κυρ Φεβ 26, 2017 5:42 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2629
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θεωρητική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Φεβ 25, 2017 9:59 pm

erxmer έγραψε:Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R \to R ώστε η f να είναι γνήσια αύξουσα και η g να είναι γνήσια φθίνουσα στο R. Aν F,G είναι αρχικές τους και υπάρχει x_0>0 ώστε F(x_0)=G(x_0) δείξτε οτι:

1) Η F είναι κυρτή και η G κοίλη

2) Υπάρχει a \in (0,x_0) ώστε f(a)=g(a)

3) H συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0} είναι γνήσια αύξουσα

4) \displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y , \in (0,x_0)}
Το 2 δεν ισχύει
f(x)=e^{x},g(x)=e^{-x},F(x)=e^{x},G(x)=-e^{-x}+e+e^{-1}
x_{0}=1,F(1)=G(1)
ενώ x\in (0,1)\Rightarrow f(x)> g(x)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2629
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θεωρητική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 26, 2017 11:50 am

erxmer έγραψε:Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R \to R ώστε η f να είναι γνήσια αύξουσα και η g να είναι γνήσια φθίνουσα στο R. Aν F,G είναι αρχικές τους και υπάρχει x_0>0 ώστε F(x_0)=G(x_0) δείξτε οτι:

1) Η F είναι κυρτή και η G κοίλη

2) H συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0} είναι γνήσια αύξουσα

3) \displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y>0}


Το 2) δεν είναι σωστό.Για f(x)=F(x)=e^{x} η \dfrac{e^{x}}{x},x> 0
δεν είναι γνησίως αύξουσα

Η άσκηση σώζετε αν προστεθεί στις υποθέσεις F(0)=G(0)=0

Αλλα τότε
Το 3) δεν είναι σωστό έτσι.(παράδειγμα το παραπάνω)
Είναι σωστό αν x,y\in (0,x_{0})
Δηλαδή όπως ήταν στην αρχική εκφώνηση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2629
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θεωρητική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 26, 2017 7:39 pm

erxmer έγραψε:Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R \to R ώστε η f να είναι γνήσια αύξουσα και η g να είναι γνήσια φθίνουσα στο R. Aν F,G είναι αρχικές τους και υπάρχει x_0>0 ώστε F(x_0)=G(x_0) και F(0)=G(0)=0δείξτε οτι:

1) Η F είναι κυρτή και η G κοίλη

2) H συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0} είναι γνήσια αύξουσα

3) \displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y \in (0,x_0)}

Yγ ελπίζω μετα τις αλλαγές που προτείνατε να μην έχει κάτι άλλο...

Με αυτή την μορφή η άσκηση είναι εντάξει.
Θα έλεγα μάλιστα ότι είναι πολύ καλή για θεωρητική άσκηση.
Το μόνο που χρειάζεται για την λύση της είναι η κατανόηση της θεωρίας.


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Θεωρητική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Φεβ 27, 2017 3:11 am

erxmer έγραψε:Εστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R \to R ώστε η f να είναι γνήσια αύξουσα και η g να είναι γνήσια φθίνουσα στο R. Aν F,G είναι αρχικές τους και υπάρχει x_0>0 ώστε F(x_0)=G(x_0) και F(0)=G(0)=0δείξτε οτι:

1) Η F είναι κυρτή και η G κοίλη

2) H συνάρτηση \displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0} είναι γνήσια αύξουσα

3) \displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y \in (0,x_0)}

Yγ ελπίζω μετα τις αλλαγές που προτείνατε να μην έχει κάτι άλλο...
...ΛΥΣΗ....

1) Επειδή {F}'(x)=f(x) που είναι γνήσια αύξουσα, η F είναι κυρτή και επειδή {G}'(x)=g(x)που είναι γνήσια φθίνουσα στο R, η G είναι κοίλη.

2) Είναι {h}'(x)=\frac{x{F}'(x)-F(x)}{{{x}^{2}}},\,\,\,x>0(1) και στο διάστημα [0,\,\,x],\,\,x>0 σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής για την παραγωγίσιμη

F, υπάρχει \xi \in (0,\,\,x) ώστε {F}'(\xi )=\frac{F(x)-F(0)}{x}\Leftrightarrow x{F}'(\xi )=F(x),\,\,\,x>0 επομένως από (1)

{h}'(x)=\frac{x{F}'(x)-x{F}'(\xi )}{{{x}^{2}}}=\frac{{F}'(x)-{F}'(\xi )}{x}=\frac{f(x)-f(\xi )}{x}>0 γιατί f

να είναι γνήσια αύξουσα και 0<\xi <x άρα η \displaystyle{h(x)=\frac{F(x)}{x},x>0} είναι γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,+\infty )

3) Θέλουμε \displaystyle{yF(x)<xG(y), x,y \in (0,x_0)} ή \frac{F(x)}{x}<\frac{G(y)}{y}\,\,,x,y\in (0,{{x}_{0}})

Λόγω του (2) για 0<x<{{x}_{0}}\overset{h:<}{\mathop{\Rightarrow }}\,h(x)<h({{x}_{0}})=0

Τώρα για την \phi (x)=\frac{G(x)}{x},x>0Είναι {\phi }'(x)=\frac{x{G}'(x)-G(x)}{{{x}^{2}}},\,\,\,x>0(2) και στο διάστημα [0,\,\,x],\,\,x>0

σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής για την παραγωγίσιμη G, υπάρχει \xi \in (0,\,\,x) ώστε {G}'(\xi )=\frac{G(x)-G(0)}{x}\Leftrightarrow x{G}'(\xi )=G(x),\,\,\,x>0

επομένως από (1) {\phi }'(x)=\frac{x{G}'(x)-x{G}'(\xi )}{{{x}^{2}}}=\frac{{G}'(x)-{G}'(\xi )}{x}=\frac{g(x)-g(\xi )}{x}<0

γιατί g είναι γνήσια φθίνουσα και 0<\xi <x άρα η \phi (x)=\frac{G(x)}{x},x>0 είναι γνήσια φθίνουσα στο (0,\,\,+\infty )

Άρα για 0<y<{{x}_{0}}\overset{\phi :\searrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,\phi (y)>\phi ({{x}_{0}})=0 επομένως ισχύει ότι

h(x)<0<\phi (y) ή \frac{F(x)}{x}<0<\frac{G(y)}{y}\,\,x,y\in (0,{{x}_{0}})

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2629
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Θεωρητική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Φεβ 27, 2017 9:10 am

Μετά την εξαίρετη λύση του Βασίλη ας δούμε μια διαφορετική αντιμετώπιση κάποιων σημείων.

1)Θέλουμε F'(x)x-F(x)> 0,x> 0

Αφου η F είναι κυρτή παίρνοντας την εφαπτομένη της στο (x,F(x)) θα έχουμε

F(t)\geq F(x)+F'(x)(t-x),t\in \mathbb{R}

με ισότητα για t=x

Επειδή x> 0,F(0)=0

για t=0 παίρνουμε 0> F(x)-xF'(x)
που είναι η ζητούμενη

2)Ειναι φανερό ότι f είναι γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν η -f είναι γνησίως φθίνουσα.

Επίσης η f είναι κοίλη αν και μόνο αν η -f είναι κυρτή.

Ετσι έχουμε Gκοίλη\Rightarrow\displaystyle{-G κυρτή\Rightarrow}-\dfrac{G(x)}{x} γνησίως

αύξουσα\Rightarrow \dfrac{G(x)}{x} γνησίως φθίνουσα


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης