Σελίδα 1 από 1

Υπαρξιακή

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 16, 2017 3:58 pm
από erxmer
Έστω η συνάρτηση f:[a,b] \to R, παραγωγίσιμη στο [a,b] με f'(a)=f'(b)=0 και f(a)<f(b) .

1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in  (a,b]}\\  
\\ 
0, x=a\\ 
\end{matrix}\right.} είναι συνεχής στο [a,b]

2) Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο (a,b] με g'(b)<0

3)

i. Αν g(x)>g(b)>0 , να δείξετε ότι η g παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος [a,b]

ii. Να δείξετε ότι υπάρχει x_0 \in (a,b) τέτοιο ώστε να ισχύει: \displaystyle{f'(x_0)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}}

4) Αν \displaystyle{0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} δείξτε οτι \displaystyle{\exists x_0 \in (a,b):f(x_0)-f(a)=m(x_0-a)}

5) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα (a,b) να δείξετε ότι η
συνάρτηση gείναι γνησίως αύξουσα στο (a,b) .

Re: Υπαρξιακή

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 17, 2017 3:32 am
από KAKABASBASILEIOS
erxmer έγραψε:Έστω η συνάρτηση f:[a,b] \to R, παραγωγίσιμη στο [a,b] με f'(a)=f'(b)=0 και f(a)<f(b) .

1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in  (a,b]}\\  
\\ 
0, x=a\\ 
\end{matrix}\right.} είναι συνεχής στο [a,b]

2) Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο (a,b] με g'(b)<0

3)

i. Αν g(x)>g(b)>0 , να δείξετε ότι η g παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος [a,b]

ii. Να δείξετε ότι υπάρχει x_0 \in (a,b) τέτοιο ώστε να ισχύει: \displaystyle{f'(x_0)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}}

4) Αν \displaystyle{0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} δείξτε οτι \displaystyle{\exists x_0 \in (a,b):f(x_0)-f(a)=m(x_0-a)}

5) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα (a,b) να δείξετε ότι η
συνάρτηση gείναι γνησίως αύξουσα στο (a,b) .
...επειδή σήμερα το πρωί στο μάθημα την σηζητούσαμε με τους μαθητές μου...λίγο από flet...

1) Η g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b] είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών και το σημείο x=a έχουμε

\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}={f}'(\alpha )=0=g(\alpha )

άρα συνεχής και στο x=a επομένως συνεχής στο [a,\,\,b]

2)Η g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b] είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με

{g}'(x)=\frac{(x-\alpha ){f}'(x)-(f(x)-f(a))}{{{(x-a)}^{2}}},x\in (a,b] και

{g}'(b)=\frac{(x-\alpha ){f}'(b)-(f(b)-f(a))}{{{(b-a)}^{2}}}\overset{{f}'(b)=0}{\mathop{=}}\,-\frac{f(b)-f(a)}{{{(b-a)}^{2}}}<0 επειδή f(a)<f(b).

3)i) Αφού {g}'(b)<0 θα είναι {g}'(b)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 επομένως

\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 κοντά στο b και αφού x-b<0 είναι g(x)-g(b)>0\Leftrightarrow g(x)>g(b) κοντά στο b

άρα στο b η g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το g(b)και επειδή g(x)>g(a)=0 στα άκρα του διαστήματος η συνεχής

παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα, άρα την μέγιστη τιμή της την παρουσιάζει σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος [a,\,b]

ii) Αν {{x}_{0}}\in (a,\,b) το σημείο που παίρνει την μέγιστη τιμή της η g αφού είναι παραγωγίσιμη λόγω του Fermat

{g}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow ({{x}_{0}}-\alpha ){f}'({{x}_{0}})-(f({{x}_{0}})-f(a))\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(a)}{x-a}

...και η συνέχεια....

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω μπορεί να δειχθεί και χωρίς το δεδομένο g(x)>g(b)>0

Από {g}'(b)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 επομένως \frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 κοντά στο b και αφού

x-b<0 είναι g(x)-g(b)>0\Leftrightarrow g(x)>g(b) υπάρχει \gamma κοντά στο bπου g(\gamma )>g(b) και επειδή g(b)>0 ισχύει ότι

0<g(b)<g(\gamma )\Leftrightarrow g(\alpha )<g(b)<g(\gamma ) και από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει {{x}_{1}}\in (a,\,\gamma ) ώστε

g({{x}_{1}})=g(b) και τότε από Rolle υπάρχει {{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,b) που

{g}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow ({{x}_{0}}-\alpha ){f}'({{x}_{0}})-(f({{x}_{0}})-f(a))\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(a)}{x-a}

4) Έχουμε ότι 0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Leftrightarrow g(\alpha )<m<g(b) και αφού η g συνεχής υπάρχει \xi \in (a,\,b)

σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ώστε

g(\xi )=m\Leftrightarrow \frac{f(\xi )-f(\alpha )}{\xi -a}=m\Leftrightarrow f(\xi )-f(\alpha )=m(\xi -a)

5) Νομίζω εδώ δεν γίνεται να είναι η f κυρτή στο διάστημα (a,b) γιατί τότε {f}' γνήσια αύξουσα και για

x>a\Rightarrow {f}'(x)>{f}'(\alpha )=0 άρα f γνήσια αύξουσα και x<b\Rightarrow {f}'(x)<{f}'(b)=0 άρα f γνήσια φθίνουσα….


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης