erxmer έγραψε:Έστω η συνάρτηση
![f:[a,b] \to R f:[a,b] \to R](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a1aece4fea54487f9e87ec49459f8588.png)
, παραγωγίσιμη στο
![[a,b] [a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
με

και

.
1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση
![\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix}
\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in (a,b]}\\
\\
0, x=a\\
\end{matrix}\right.} \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix}
\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in (a,b]}\\
\\
0, x=a\\
\end{matrix}\right.}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/729a187025fd1ab028efa65ec6789247.png)
είναι συνεχής στο
2) Να δείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο
![(a,b] (a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a33b8ca44ded30abf82b7dca332e9a96.png)
με
3)
i. Αν

, να δείξετε ότι η

παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος
ii. Να δείξετε ότι υπάρχει

τέτοιο ώστε να ισχύει:
4) Αν

δείξτε οτι
5) Αν η συνάρτηση

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα

να δείξετε ότι η
συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο

.
...επειδή σήμερα το πρωί στο μάθημα την σηζητούσαμε με τους μαθητές μου...λίγο από flet...
1) Η
![g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b] g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a2e79870343f452ab8730aea8684f828.png)
είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών και το σημείο

έχουμε
άρα συνεχής και στο

επομένως συνεχής στο
2)Η
![g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b] g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a2e79870343f452ab8730aea8684f828.png)
είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με
![{g}'(x)=\frac{(x-\alpha ){f}'(x)-(f(x)-f(a))}{{{(x-a)}^{2}}},x\in (a,b] {g}'(x)=\frac{(x-\alpha ){f}'(x)-(f(x)-f(a))}{{{(x-a)}^{2}}},x\in (a,b]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4682661ba9cbda275ae72d6044372549.png)
και

επειδή

.
3)i) Αφού

θα είναι

επομένως

κοντά στο

και αφού

είναι

κοντά στο
άρα στο

η

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το

και επειδή

στα άκρα του διαστήματος η συνεχής
παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα, άρα την μέγιστη τιμή της την παρουσιάζει σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος
ii) Αν

το σημείο που παίρνει την μέγιστη τιμή της η

αφού είναι παραγωγίσιμη λόγω του Fermat
...και η συνέχεια....
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω μπορεί να δειχθεί και χωρίς το δεδομένο
Από

επομένως

κοντά στο

και αφού

είναι

υπάρχει

κοντά στο

που

και επειδή

ισχύει ότι

και από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει

ώστε

και τότε από Rolle υπάρχει

που
4) Έχουμε ότι

και αφού η

συνεχής υπάρχει
σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ώστε
5) Νομίζω εδώ δεν γίνεται να είναι η

κυρτή στο διάστημα

γιατί τότε

γνήσια αύξουσα και για

άρα

γνήσια αύξουσα και

άρα

γνήσια φθίνουσα….
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης