Υπαρξιακή

erxmer · #1

Έστω η συνάρτηση $f:[a,b] \to R$ , παραγωγίσιμη στο [a,b]

με

και

.

1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in (a,b]}\\ \\ 0, x=a\\ \end{matrix}\right.}$ είναι συνεχής στο [a,b]

2) Να δείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο (a,b]

με

3)

i. Αν g(x)>g(b)>0

, να δείξετε ότι η

παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος [a,b]

ii. Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε να ισχύει: $\displaystyle{f'(x_0)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}}$

4) Αν $\displaystyle{0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ δείξτε οτι $\displaystyle{\exists x_0 \in (a,b):f(x_0)-f(a)=m(x_0-a)}$

5) Αν η συνάρτηση

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα (a,b)

να δείξετε ότι η
συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο (a,b)

.

#2

erxmer έγραψε:Έστω η συνάρτηση $f:[a,b] \to R$ , παραγωγίσιμη στο με και .

1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in (a,b]}\\ \\ 0, x=a\\ \end{matrix}\right.}$ είναι συνεχής στο

2) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο με

3)

i. Αν , να δείξετε ότι η παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος

ii. Να δείξετε ότι υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε να ισχύει: $\displaystyle{f'(x_0)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}}$

4) Αν $\displaystyle{0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ δείξτε οτι $\displaystyle{\exists x_0 \in (a,b):f(x_0)-f(a)=m(x_0-a)}$

5) Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα να δείξετε ότι η
συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο .

...επειδή σήμερα το πρωί στο μάθημα την σηζητούσαμε με τους μαθητές μου...λίγο από flet...

1) Η $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b]$ είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών και το σημείο x=a

έχουμε

$\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}={f}'(\alpha )=0=g(\alpha )$

άρα συνεχής και στο x=a

επομένως συνεχής στο $[a,\,\,b]$

2)Η $g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b]$ είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με

${g}'(x)=\frac{(x-\alpha ){f}'(x)-(f(x)-f(a))}{{{(x-a)}^{2}}},x\in (a,b]$ και

${g}'(b)=\frac{(x-\alpha ){f}'(b)-(f(b)-f(a))}{{{(b-a)}^{2}}}\overset{{f}'(b)=0}{\mathop{=}}\,-\frac{f(b)-f(a)}{{{(b-a)}^{2}}}<0$ επειδή f(a)<f(b)

.

3)i) Αφού {g}'(b)<0

θα είναι ${g}'(b)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0$ επομένως

$\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0$ κοντά στο

και αφού

είναι $g(x)-g(b)>0\Leftrightarrow g(x)>g(b)$ κοντά στο

άρα στο

η

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το g(b)

και επειδή g(x)>g(a)=0

στα άκρα του διαστήματος η συνεχής

παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα, άρα την μέγιστη τιμή της την παρουσιάζει σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος $[a,\,b]$

ii) Αν ${{x}_{0}}\in (a,\,b)$ το σημείο που παίρνει την μέγιστη τιμή της η

αφού είναι παραγωγίσιμη λόγω του Fermat

${g}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow ({{x}_{0}}-\alpha ){f}'({{x}_{0}})-(f({{x}_{0}})-f(a))\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(a)}{x-a}$

...και η συνέχεια....

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω μπορεί να δειχθεί και χωρίς το δεδομένο

Από ${g}'(b)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0$ επομένως $\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0$ κοντά στο

και αφού

είναι $g(x)-g(b)>0\Leftrightarrow g(x)>g(b)$ υπάρχει $\gamma$ κοντά στο

που $g(\gamma )>g(b)$ και επειδή g(b)>0

ισχύει ότι

$0<g(b)<g(\gamma )\Leftrightarrow g(\alpha )<g(b)<g(\gamma )$ και από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ${{x}_{1}}\in (a,\,\gamma )$ ώστε

$g({{x}_{1}})=g(b)$ και τότε από Rolle υπάρχει ${{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,b)$ που

${g}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow ({{x}_{0}}-\alpha ){f}'({{x}_{0}})-(f({{x}_{0}})-f(a))\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(a)}{x-a}$

4) Έχουμε ότι $0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Leftrightarrow g(\alpha )<m<g(b)$ και αφού η

συνεχής υπάρχει $\xi \in (a,\,b)$

σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ώστε

$g(\xi )=m\Leftrightarrow \frac{f(\xi )-f(\alpha )}{\xi -a}=m\Leftrightarrow f(\xi )-f(\alpha )=m(\xi -a)$

5) Νομίζω εδώ δεν γίνεται να είναι η

κυρτή στο διάστημα (a,b)

γιατί τότε {f}'

γνήσια αύξουσα και για

$x>a\Rightarrow {f}'(x)>{f}'(\alpha )=0$ άρα

γνήσια αύξουσα και $x<b\Rightarrow {f}'(x)<{f}'(b)=0$ άρα

γνήσια φθίνουσα….

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Υπαρξιακή

Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Μέλη σε σύνδεση