Υπαρξιακή

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Υπαρξιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Πέμ Φεβ 16, 2017 3:58 pm

Έστω η συνάρτηση f:[a,b] \to R, παραγωγίσιμη στο [a,b] με f'(a)=f'(b)=0 και f(a)<f(b) .

1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in  (a,b]}\\  
\\ 
0, x=a\\ 
\end{matrix}\right.} είναι συνεχής στο [a,b]

2) Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο (a,b] με g'(b)<0

3)

i. Αν g(x)>g(b)>0 , να δείξετε ότι η g παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος [a,b]

ii. Να δείξετε ότι υπάρχει x_0 \in (a,b) τέτοιο ώστε να ισχύει: \displaystyle{f'(x_0)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}}

4) Αν \displaystyle{0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} δείξτε οτι \displaystyle{\exists x_0 \in (a,b):f(x_0)-f(a)=m(x_0-a)}

5) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα (a,b) να δείξετε ότι η
συνάρτηση gείναι γνησίως αύξουσα στο (a,b) .



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1547
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Υπαρξιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Φεβ 17, 2017 3:32 am

erxmer έγραψε:Έστω η συνάρτηση f:[a,b] \to R, παραγωγίσιμη στο [a,b] με f'(a)=f'(b)=0 και f(a)<f(b) .

1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, x \in  (a,b]}\\  
\\ 
0, x=a\\ 
\end{matrix}\right.} είναι συνεχής στο [a,b]

2) Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο (a,b] με g'(b)<0

3)

i. Αν g(x)>g(b)>0 , να δείξετε ότι η g παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος [a,b]

ii. Να δείξετε ότι υπάρχει x_0 \in (a,b) τέτοιο ώστε να ισχύει: \displaystyle{f'(x_0)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}}

4) Αν \displaystyle{0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} δείξτε οτι \displaystyle{\exists x_0 \in (a,b):f(x_0)-f(a)=m(x_0-a)}

5) Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα (a,b) να δείξετε ότι η
συνάρτηση gείναι γνησίως αύξουσα στο (a,b) .
...επειδή σήμερα το πρωί στο μάθημα την σηζητούσαμε με τους μαθητές μου...λίγο από flet...

1) Η g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b] είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών και το σημείο x=a έχουμε

\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}={f}'(\alpha )=0=g(\alpha )

άρα συνεχής και στο x=a επομένως συνεχής στο [a,\,\,b]

2)Η g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\in (a,b] είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με

{g}'(x)=\frac{(x-\alpha ){f}'(x)-(f(x)-f(a))}{{{(x-a)}^{2}}},x\in (a,b] και

{g}'(b)=\frac{(x-\alpha ){f}'(b)-(f(b)-f(a))}{{{(b-a)}^{2}}}\overset{{f}'(b)=0}{\mathop{=}}\,-\frac{f(b)-f(a)}{{{(b-a)}^{2}}}<0 επειδή f(a)<f(b).

3)i) Αφού {g}'(b)<0 θα είναι {g}'(b)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 επομένως

\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 κοντά στο b και αφού x-b<0 είναι g(x)-g(b)>0\Leftrightarrow g(x)>g(b) κοντά στο b

άρα στο b η g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το g(b)και επειδή g(x)>g(a)=0 στα άκρα του διαστήματος η συνεχής

παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα, άρα την μέγιστη τιμή της την παρουσιάζει σε ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος [a,\,b]

ii) Αν {{x}_{0}}\in (a,\,b) το σημείο που παίρνει την μέγιστη τιμή της η g αφού είναι παραγωγίσιμη λόγω του Fermat

{g}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow ({{x}_{0}}-\alpha ){f}'({{x}_{0}})-(f({{x}_{0}})-f(a))\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(a)}{x-a}

...και η συνέχεια....

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω μπορεί να δειχθεί και χωρίς το δεδομένο g(x)>g(b)>0

Από {g}'(b)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 επομένως \frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0 κοντά στο b και αφού

x-b<0 είναι g(x)-g(b)>0\Leftrightarrow g(x)>g(b) υπάρχει \gamma κοντά στο bπου g(\gamma )>g(b) και επειδή g(b)>0 ισχύει ότι

0<g(b)<g(\gamma )\Leftrightarrow g(\alpha )<g(b)<g(\gamma ) και από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει {{x}_{1}}\in (a,\,\gamma ) ώστε

g({{x}_{1}})=g(b) και τότε από Rolle υπάρχει {{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,b) που

{g}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow ({{x}_{0}}-\alpha ){f}'({{x}_{0}})-(f({{x}_{0}})-f(a))\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=\frac{f({{x}_{0}})-f(a)}{x-a}

4) Έχουμε ότι 0<m<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Leftrightarrow g(\alpha )<m<g(b) και αφού η g συνεχής υπάρχει \xi \in (a,\,b)

σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ώστε

g(\xi )=m\Leftrightarrow \frac{f(\xi )-f(\alpha )}{\xi -a}=m\Leftrightarrow f(\xi )-f(\alpha )=m(\xi -a)

5) Νομίζω εδώ δεν γίνεται να είναι η f κυρτή στο διάστημα (a,b) γιατί τότε {f}' γνήσια αύξουσα και για

x>a\Rightarrow {f}'(x)>{f}'(\alpha )=0 άρα f γνήσια αύξουσα και x<b\Rightarrow {f}'(x)<{f}'(b)=0 άρα f γνήσια φθίνουσα….


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης