Mεθοδική

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Mεθοδική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Πέμ Φεβ 16, 2017 3:39 pm

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty) \to R για την οποία ισχύουν:
\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x^3f''(x)=e^{\frac{1}{x}}\\ 
\\ 
x>0 
\end{matrix}\right.} και η εφαπτομένη της C_f στο σημείο της (1,f(1)) έχει εξίσωση y = e.

Επίσης θεωρούμε τη συνάρτηση g:(0,+\infty) \to R με: \displaystyle{g(x)=\frac{e^x}{x}} και G μια αρχική της

1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=f(x)-xe^{\frac{1}{x}}} είναι η μηδενική συνάρτηση για κάθε x > 0.

2) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C_f

3) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\int_{1}^{2}\frac{e^t}{t}dt<\frac{e^2}{2}, x>1}

4) Να δείξετε ότι \displaystyle{2G(x+1)<G(x+2)+G(x)}\,\,\, x \geq 1
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Πέμ Φεβ 16, 2017 4:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Mεθοδική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Φεβ 16, 2017 4:01 pm

erxmer έγραψε:4) Να δείξετε ότι \displaystyle{2G(x+1)<G(x+2)+G(x)}
\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( G(x+1) - G(x) \right) = + \infty,  
 
\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( G(x+2) - G(x+1) \right) < + \infty

Θέλει διόρθωμα. Προτείνω "για x \geqslant 1".

(Διορθώθηκε)


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 343
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Mεθοδική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Φεβ 18, 2017 1:07 am

erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+\infty) \to R για την οποία ισχύουν:
\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x^3f''(x)=e^{\frac{1}{x}}\\ 
\\ 
x>0 
\end{matrix}\right.} και η εφαπτομένη της C_f στο σημείο της (1,f(1)) έχει εξίσωση y = e.

Επίσης θεωρούμε τη συνάρτηση g:(0,+\infty) \to R με: \displaystyle{g(x)=\frac{e^x}{x}} και G μια αρχική της

1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=f(x)-xe^{\frac{1}{x}}} είναι η μηδενική συνάρτηση για κάθε x > 0.

2) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C_f

3) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\int_{1}^{2}\frac{e^t}{t}dt<\frac{e^2}{2}, x>1}

4) Να δείξετε ότι \displaystyle{2G(x+1)<G(x+2)+G(x)}\,\,\, x \geq 1
Καλησπέρα.
1) Είναι h'(x)= f'(x)-e^{\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} και h''(x)=\dfrac{x^3 f''(x)-e^{\frac{1}{x}}}{x^3} = 0.
Άρα h'(x)=c και επειδή η εφαπτομένη της C_f στο σημείο της (1,f(1)) έχει εξίσωση y = e
συμπεραίνουμε ότι f'(1)=0. Άρα h'(x)=c=0, οπότε και h(x)= c_{1} και επειδή f(1)=e, ισχύει h(x)=0 .

2)\displaystyle{f(x)=xe^{\frac{1}{x}}} . Θέτω x=\frac{1}{u}. Είναι x\rightarrow 0^{+}\Rightarrow u\rightarrow +\infty.

Άρα εφαρμόζοντας κανόνα De L' Hospital \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{e^u}{u} =\displaystyle\lim_{x\to 0^+} e^u =+\infty . Συνεπώς η y=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C_{f} .
Επίσης \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} e^{\frac{1}{x}} =1.

Επί πλέον \displaystyle\lim_{x\to +\infty} (f(x)-x)= \displaystyle\lim_{x\to +\infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)  =\displaystyle\lim_{u\to 0} \dfrac{e^u-1}{u}=1.

Άρα η y=x+1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C_{f} στο +\infty.

3) Είναι \displaystyle{\int_{1}^{2}\frac{e^t}{t}dt<\frac{e^2}{2} \Leftrightarrow \displaystyle{\int_{1}^{2}\frac{e^t}{t}dt<  \displaystyle{\int_{1}^{2}\frac{e^2}{2}dt \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \displaystyle{\int_{1}^{2}(\frac{e^t}{t} - \frac{e^2}{2})dt < 0 , το οποίο ισχύει διότι

η g είναι γνησίως αύξουσα στο [1, +\infty ), οπότε g(t)\leq g(2),\,\,\,\,\,\ 1\leq x\leq 2.
Επίσης η \frac{e^t}{t} - \frac{e^2}{2} δεν μηδενίζεται παντού στο [1,2], συνεπώς ισχύει το ζητούμενο.

4) Είναι \displaystyle{2G(x+1)<G(x+2)+G(x)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \displaystyle{G(x+1)-G(x)<G(x+2)-G(x+1)} (1) .

Εφαρμόζοντας Θ.M.T. στην G στα διαστήματα [x,x+1] και [x+1,x+2] έχουμε

(1) \Leftrightarrow G'(\xi _{1})<G'(\xi _{2}) ,\,\, \mu \varepsilon \,\,\xi_{1}<\xi _{2}.

δηλ. g(\xi _{1})<g(\xi _{2}) το οποίο ισχύει αφού g: γνησίως αύξουσα.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης