Zonk

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Zonk

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Φεβ 13, 2017 10:17 pm

Δίνεται f: [1, +\infty) \to R παραγωγίσιμη με \displaystyle{lnx \leq f(x) \leq x-1, x>1}.

1) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο (1,f(1)).

2) Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{xlnx-x+1 \leq F(x) \leq \frac{(x-1)^2}{2}, x \geq 1}, όπου F μια αρχική της f

3) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}F(x)}

4) Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\sqrt{2E} \leq e-1} όπου E το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

C_f τον άξονα των x και την ευθεία x=e .

5) Αν γνωρίζουμε ότι η f έχει πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία y=ax+bμε b \leq -1 ,

τότε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση \displaystyle{b(x-1)-\frac{(a-1)x^2}{4}=f(x)} έχει τουλάχιστον μία λύση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4331
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Zonk

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Φεβ 13, 2017 10:43 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται f: [1, +\infty) \to R παραγωγίσιμη με \displaystyle{lnx \leq f(x) \leq x-1, x>1}.

1) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο (1,f(1)).

2) Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{xlnx-x+1 \leq F(x) \leq \frac{(x-1)^2}{2}, x \geq 1}, όπου F μια αρχική της f

3) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}F(x)}

4) Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\sqrt{2E} \leq e-1} όπου E το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

C_f τον άξονα των x και την ευθεία x=e .

5) Αν γνωρίζουμε ότι η f έχει πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία y=ax+bμε b \leq -1 ,

τότε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση \displaystyle{b(x-1)-\frac{(a-1)x^2}{4}=f(x)} έχει τουλάχιστον μία λύση.
(α) Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη αυτό σημαίνει ότι είναι και συνεχής. Άρα είναι και συνεχής στο x_0=1. Παίρνοντας όρια στην αρχική σχέση καθώς x \rightarrow 1+ βγάζουμε ότι \lim \limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)=0 και λόγω συνέχειας είναι f(1)=0. Επίσης η αρχική σχέση δίδει
\displaystyle{\begin{matrix} 
 \dfrac{\ln x}{x-1} \leq \dfrac{f(x)}{x-1} \leq \dfrac{x-1}{x-1} &  \Rightarrow  \\\\  
 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{\ln x}{x-1} \leq \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{f(x)}{x-1} \leq \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x-1}{x-1} & \Rightarrow  \\\\ 
 1 \leq f'(1) \leq 1    
\end{matrix}} Άρα f'(1)=1 και κατά συνέπεια η εξίσωση της εφαπτομένης στο x_0=1 είναι η ευθεία με εξίσωση y=x-1.

(β) Έστω {\rm F}(x) = \bigintsss_1^x f(t) \, {\rm d}t η αρχική μας. Τότε
\displaystyle{\begin{matrix} 
\ln x \leq  f(x) \leq x -1 & \Rightarrow  \\\\  
 \displaystyle \int_{1}^{x} \ln t \, {\rm d}t \leq \int_{1}^{x} f(t) \, {\rm d}t \leq \int_{1}^{x} (t-1) \, {\rm d}t &\Rightarrow \\\\ 
 \displaystyle x \ln x - x \leq {\rm F}(x) - \cancelto{0}{{\rm F}(1)}  \leq \frac{(x-1)^2}{2} 
\end{matrix}} (γ) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε x \ln x - x \leq {\rm F}(x). Άρα \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} x \ln x - x \leq \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} {\rm F}(x) και επειδή \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} x \ln x - x =+\infty το ζητούμενο έπεται.

(δ) Από τη σχέση \ln x \leq f(x) βγάζουμε ότι για κάθε x>1 είναι f(x) \geq 0 με την ισότητα να ισχύει στο 1 όπως είδαμε το (α) ερώτημα. Άρα το εμβαδόν δίδεται του τύπου
\displaystyle{{\rm E}\left ( \Omega \right )= \int_{1}^{e}  f(x) \, {\rm d}x} Τότε χρησιμοποιώντας την αρχική έχουμε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\sqrt{2{\rm E}} &=\sqrt{2 \int_{1}^{e} f(t) \, {\rm d}t} \\  
 &\leq \sqrt{2 \int_{1}^{e} (t-1) \, {\rm d}t} \\  
 &=e-1 
\end{aligned}} και η ζητούμενη ανισότητα αποδείχθηκε.

(ε) :?:

Δε καταλαβαίνω επίσης το τίτλο του θέματος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4331
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Zonk

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 01, 2017 11:01 am

erxmer έγραψε:
5) Αν γνωρίζουμε ότι η f έχει πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία y=ax+bμε b \leq -1 ,

τότε να αποδειχθεί ότι η εξίσωση \displaystyle{b(x-1)-\frac{(a-1)x^2}{4}=f(x)} έχει τουλάχιστον μία λύση.
Επαναφορά για το ερώτημα αυτό.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Zonk

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μαρ 01, 2017 11:35 am

Παρατήρησε ότι 0 < a \leqslant 1 για να έχουμε πλάγια ασύμπτωτη. Βρες δύο κατάλληλα σημεία και παίξε μπάλα.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
nikos18
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 15, 2016 12:26 pm

Re: Zonk

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos18 » Τετ Μαρ 01, 2017 5:32 pm

Εφόσον ισχύει lnx/x\leq f(x)/x\leq (x-1)/x και το lim_{x \to\infty}(lnx/x)=0 τότε θα είναι και lim_{x \to\infty}((x-1)/x)=1
0\leqslant lim_{x \to\infty}(f(x)/x)\leq 1
τελευταία επεξεργασία από nikos18 σε Τετ Μαρ 01, 2017 5:46 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Zonk

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μαρ 01, 2017 5:36 pm

nikos18 έγραψε:Εφόσον ισχύει lnx-ax-b\leq f(x)-ax-b\leq x-1-ax-b και το lim_{x \to\infty}(lnx-ax-b)=+\infty
Αυτό το τελευταίο πόθεν;


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
nikos18
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 15, 2016 12:26 pm

Re: Zonk

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos18 » Τετ Μαρ 01, 2017 5:47 pm

Συγνώμη, διόρθωσα άμεσα αυτό που έγραψα


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3114
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Zonk

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μαρ 09, 2017 11:47 am

Κάνω το τελευταίο για να κλίσει.

Από τα προηγούμενα πρέπει 0< a\leq 1

Θέλουμε η g(x)=f(x)-b(x-1)-(1-a)\dfrac{x^{2}}{4}

να έχει ρίζα στο [1,\infty )

Αν a=1 εχει ρίζα το 1

Εστω 0< a< 1

Τότε g(1)< 0

και g(2-a)=f(2-a)+(1-a)(-b-\dfrac{(2-a)^{2}}{4})> 0

(-b\geq 1)

Από Bolzano έχει ρίζα.



Στο 2 η σωστή διατύπωση είναι.Υπάρχει αρχική .......


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης