Ανισότητα ... με εφαρμογή

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2986
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Ανισότητα ... με εφαρμογή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Σάβ Δεκ 17, 2016 11:01 pm

Να αποδειχθεί, για κάθε ακέραιο n\geq4 και για -2\leq x\leq0, η ανισότητα

(-x)^{n+2}(x+2)^{n-1}<\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}.

[Δεν μοιάζει με τυπικό θέμα Πανελλαδικών. Τοποθετείται εδώ επειδή βγαίνει με Λογισμό, αν και προτιμητέα θα ήταν μια πιο στοιχειώδης απόδειξη. Η προέλευση και η εφαρμογή της ανισότητας θα αποκαλυφθούν αργότερα.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13577
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 18, 2016 1:33 am

gbaloglou έγραψε:Να αποδειχθεί, για κάθε ακέραιο n\geq4 και για -2\leq x\leq0, η ανισότητα

(-x)^{n+2}(x+2)^{n-1}<\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}.
Θέτουμε για ευκολία (αν και δεν είναι απαραίτητο) x=y-1, οπότε -1\le y \le 1 ή αλλιώς |y|\le 1. Άρα

(-x)^{n+2}(x+2)^{n-1}= (1-y)^{n+2} (1+y)^{n-1} = (1-y)^{3} (1-y)^{n-1} (1+y)^{n-1}

= (1-y)^{3} (1-y^2)^{n-1} \, (*)

Πρώτα για n\ge 5.

Το δεξί μέλος είναι

\le  (1-y)^{3} \cdot 1  \le 8 = \dfrac {8\cdot n}{n} < \dfrac {4^3 (n-1)}{n}\le \dfrac {(n-1)^3 (n-1)}{n}

= \dfrac {(n-1)^4}{n} \le \dfrac {(n-1)^{n-1}}{n} , όπως θέλαμε.

Τώρα για n=4.

Το δεξί μέλος της (*) είναι

= (1-y)^{3} (1-y^2)^{3} = \left [(1-y)(1-y^2)\right ]^{3}

το οποίο θέλουμε να δείξουμε ότι είναι < \frac {(n-1)^{n-1}}{n}= \frac {27}{4}

Ισοδύναμα θέλουμε (1-y)(1-y^2) \le \frac {3}{\sqrt [3] 4 } \approx 1,89

που ισχύει με περίσσευμα (παραγωγίζοντας ή αλλιώς βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος έχει μέγιστο στο y=-1/3 και η τιμή του είναι 32/27 \approx 1,185)


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2986
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Δεκ 18, 2016 2:14 am

Μιχάλη σ' ευχαριστώ για την γρήγορη και αποτελεσματική παρέμβαση, που μας επιτρέπει να γιορτάσουμε τα αποψινά όγδοα γενέθλια του :logo: με ιδιαίτερο τρόπο ... εδώ :coolspeak:


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2986
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Δεκ 18, 2016 12:20 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ισοδύναμα θέλουμε (1-y)(1-y^2) \le \frac {3}{\sqrt [3] 4 } \approx 1,89

που ισχύει με περίσσευμα (παραγωγίζοντας ή αλλιώς βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος έχει μέγιστο στο y=-1/3 και η τιμή του είναι 32/27 \approx 1,185)
Εναλλακτική προσέγγιση (χωρίς παραγώγιση), για -1\leq y\leq 1 πάντοτε:

(1-y)(1-y^2)\leq \displaystyle\left[\frac{(1-y)+(1-y^2)}{2}\right]^2=\frac{(y^2+y-2)^2}{4}=\frac{\left[\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]^2}{4}\leq

\leq \displaystyle\frac{\left(-\frac{9}{4}\right)^2}{4}=\frac{81}{64}

[Το παραπάνω άνω φράγμα δεν είναι βέλτιστο, όπως προκύπτει και από την προσέγγιση του Μιχάλη, αλλά επαρκεί για τις ανάγκες του προβλήματος. (Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η (1-y)(1-y^2) μεγιστοποιείται στο [-1,1] για y=-\displaystyle\frac{1}{3};)]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13577
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 18, 2016 12:48 pm

gbaloglou έγραψε:Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η (1-y)(1-y^2) μεγιστοποιείται στο [-1,1] για y=-\displaystyle\frac{1}{3};]
Γιώργο, μπορούμε.

Θέλουμε να δείξουμε (1-y)(1-y^2) \le \frac {32}{27} στο [-1,1]. Ισοδύναμα (3y-5)(1+3y)^2\le 0, που δίνει το ζητούμενο και μάλιστα στο (-\infty, \, 5/3).


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2986
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Δεκ 18, 2016 3:36 pm

Ας το δούμε και με παραγώγιση:

Θέλουμε να αποδείξουμε τις ανισότητες, για άρτιο n\geq 4 και για περιττό n\geq 5 αντίστοιχα, x^{n+2}(x+2)^{n-1}<\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n} και x^{n+2}(x+2)^{n-1}>-\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}, όπου -2\leq x\leq 0. Στην πρώτη περίπτωση αρκεί να αποδείξουμε, με δεδομένο τον μηδενισμό της x^{n+2}(x+2)^{n-1} στα άκρα του [-2,0], ότι το μέγιστο της, σε σημείο μηδενισμού της παραγώγου, είναι μικρότερο του \displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}. Αναλόγως στην δεύτερη περίπτωση αρκεί να αποδείξουμε ότι το ελάχιστο της x^{n+2}(x+2)^{n-1}, σε σημείο μηδενισμού της παραγώγου, είναι μεγαλύτερο του -\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}.

Από την [x^{n+2}(x+2)^{n-1}]'=x^{n+1}(x+2)^{n-2}[(2n+1)x+2(n+2)] προκύπτει ένα και μοναδικό σημείο μηδενισμού της παραγώγου, για x=-\displaystyle\frac{2(n+2)}{2n+1}. Παρατηρούμε επίσης ότι τα δύο ζητούμενα της προηγούμενης παραγράφου συμπτύσσονται σε ένα, συγκεκριμένα στην ανισότητα, για n\geq 4,

\displaystyle\frac{2^{n+2}(n+2)^{n+2}}{(2n+1)^{n+2}}\cdot\frac{(2n-2)^{n-1}}{(2n+1)^{n-1}}<\frac{(n-1)^{n-1}}{n}.

Ύστερα από απλοποιήσεις και χρήση της \displaystyle\frac{2}{2n+1}<\frac{1}{n} παρατηρούμε ότι αρκεί να ισχύει, για n\geq 4, η ανισότητα

(n+2)^{n+2}<n^{2n}\leftrightarrow\displaystyle\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n+2}<n^{n-2}.

Η ανισότητα αυτή ισχύει για n=4 (ισοδύναμη προς την 3^6<2^{10}). Για n\geq 5 προκύπτει άμεσα από τις \displaystyle\left(1+\frac{2}{n}\right)^n<e^2<8, \displaystyle\left(1+\frac{2}{n}\right)^2\leq \frac{49}{25}<2 για n\geq 5, και 16<n^{n-2} για n\geq 5.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2986
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Δεκ 21, 2016 8:40 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
gbaloglou έγραψε:Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η (1-y)(1-y^2) μεγιστοποιείται στο [-1,1] για y=-\displaystyle\frac{1}{3};]
Γιώργο, μπορούμε.

Θέλουμε να δείξουμε (1-y)(1-y^2) \le \frac {32}{27} στο [-1,1]. Ισοδύναμα (3y-5)(1+3y)^2\le 0, που δίνει το ζητούμενο και μάλιστα στο (-\infty, \, 5/3).
Και αν ... δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι η (1-y)(1-y^2) έχει τοπικό μέγιστο στο -\displaystyle\frac{1}{3} ... πάλι μπορούμε:

Αναζητούμε s τέτοιο ώστε η f(y)-f(s) να διαιρείται δια του (y-s)^2 ... διαιρούμε δηλαδή το y^3-y^2-y+s+s^2-s^3 δια του y^2-2sy+s^2 παίρνοντας πηλίκο q(y)=y+2s-1 και υπόλοιπο r(y)=(3s^2-2s-1)y-s(3s^2-2s-1) ... οπότε ο μηδενισμός του υπολοίπου* δίνει s=1 (τοπικό ελάχιστο*) και s=-\displaystyle\frac{1}{3} (τοπικό μέγιστο*).

*Αν για το πολυώνυμο f ισχύει η f(x)-f(s)=(x-s)^2q(x), και ισχύει επίσης η q(s)>0 ή η q(s)<0, τότε το f(s) είναι τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο του πολυωνύμου, αντίστοιχα. (Στην περίπτωση μας q(s)=3s-1, q(1)=2, q(-\displaystyle\frac{1}{3})=-2. Η απόδειξη του λήμματος είναι απλή αλλά απαιτεί εξοικείωση με την έννοια της συνέχειας ... που συνήθως διδάσκεται πριν από τα τοπικά ακρότατα, εδώ που τα λέμε ;) )


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6324
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Δεκ 21, 2016 11:43 pm

gbaloglou έγραψε: Και αν ... δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι η (1-y)(1-y^2) έχει τοπικό μέγιστο στο -\displaystyle\frac{1}{3} ... πάλι μπορούμε:
Και με απλή εφαρμογή της ΑΜ-ΓΜ:

\displaystyle{(1-y)+(1-y)+2(1+y)\geq 3\sqrt[3]{2(1-y)^2(1+y)}\implies (1-y)(1-y^2)\leq \frac{32}{27}}

με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν \displaystyle{1-y=2(1+y)\iff y=-\frac{1}{3}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης