Δέλτα

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Δέλτα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:02 pm

Δίνεται συνάρτησηf παραγωγίσιμη στοR με \displaystyle{f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - x - 1}},\,\,\,x \ne 0}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = 0} \end{array}} \right}.

Δ1. Να αποδειχτεί ότι \alpha = 2

Δ2. Αν \displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R} να αποδειχτεί ότι

i. Η g είναι γνησίως αύξουσα

ii. \displaystyle{ f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx} < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)}

Δ3. Αν\displaystyle{ \int_\beta ^\gamma {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma \in R } να αποδειχτεί ότι \beta > \gamma

Δ4. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} f\left( x \right)dx } ως προς f\left( 1 \right)}



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Δέλτα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Νοέμ 11, 2016 12:05 am

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτησηf παραγωγίσιμη στοR με \displaystyle{f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - x - 1}},\,\,\,x \ne 0}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = 0} \end{array}} \right}.

Δ1. Να αποδειχτεί ότι \alpha = 2

Δ2. Αν \displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R} να αποδειχτεί ότι

i. Η g είναι γνησίως αύξουσα

ii. \displaystyle{ f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx} < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)}

Δ3. Αν\displaystyle{ \int_\beta ^\gamma {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma \in R } να αποδειχτεί ότι \beta > \gamma

Δ4. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} f\left( x \right)dx } ως προς f\left( 1 \right)}
...Καλησπερίζω την παρέα με τις απαιτήσεις του erxmer

Δ1. Αφού η f παραγωγίσιμη στοR θα είναι

{f}'(0)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}-x-1}

\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{e}^{x}}-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{{{e}^{x}}}=2

και επειδή {f}'(0)=a θα είναι a=2

Δ2. i)Η \displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R} είναι παραγωγίσιμη με

{g}'\left( x \right)=x+{f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 
  & x+\frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}-x-1},\,\,\,x\ne 0 \\  
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x=0 \\  
\end{matrix} \right.

και για x\ne 0 είναι {g}'(x)=x(1+\frac{x}{{{e}^{x}}-x-1})=x\left( \frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}-x-1} \right)(1)

Τώρα από την γνωστή ανισότητα \ln x\le x-1,\,\,\,x>0 με όπου x το {{e}^{x}} προκύπτει ότι {{e}^{x}}\ge x+1,\,\,x\in R

με το ίσο μόνο για x=0 επομένως {{e}^{x}}>x+1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-x-1>,\,\,x\in {{R}^{*}} ακόμη για

x<0\Rightarrow {{e}^{x}}<1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1<0 άρα x({{e}^{x}}-1)>0και για

x>0\Rightarrow {{e}^{x}}>1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1>0 άρα x({{e}^{x}}-1)>0 επομένως από (1) ισχύει ότι για

{g}'(x)>0,\,\,\,x\ne 0 και επειδή g(0)=2>0 ισχύει ότι {g}'(x)>0,\,\,\,x\in R που σημαίνει ότι g είναι γνήσια αύξουσα στο R

ii) Θέλουμε να δείξουμε ότι \displaystyle{ f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx} < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)} ή

g\left( 0 \right)<\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx}<g\left( 1 \right) και επειδή g είναι γνήσια αύξουσα στο R

άρα και στο [0,\,\,1] θα ισχύει για

0\le x\le \,\,1\Leftrightarrow g(0)\le g(x)\le g(1)\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{g(0)dx}<\int\limits_{0}^{1}{g(x)dx}<\int\limits_{0}^{1}{g(2)dx} ή g(0)<\int\limits_{0}^{1}{g(x)dx}<g(1)

Δ3. Από \displaystyle{ \int_\beta ^\gamma {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma \in R } έχουμε ότι

\left[ f(x) \right]_{\beta }^{\gamma }<0\Leftrightarrow f(\gamma )-f(\beta )<0\Leftrightarrow f(\gamma )<f(\beta ) και επειδή η {f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}-x-1},\,\,x\ne 0 \\  
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x=0 \\  
\end{matrix} \right.

είναι {f}'(x)>0,\,\,\,x\in R αφού {{x}^{2}}>0,\,\,\,x\ne 0 και {{e}^{x}}-x-1>0,\,\,x\ne 0θα ισχύει από f(\gamma )<f(\beta )ότι \gamma <\beta

Δ4. (...εντός σχολικής ύλης;;;;) Είναι για \alpha >0

I(a)=\int\limits_{\alpha }^{1}{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}f\left( x \right)dx=\int\limits_{\alpha }^{1}{{{\left( {{e}^{x}}-x-1 \right)}^{\prime }}}f\left( x \right)dx=

=\left[ \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)f(x) \right]_{\alpha }^{1}-\int\limits_{\alpha }^{1}{\left( {{e}^{x}}-x-1 \right){f}'(x)dx}=

=\left[ \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)f(x) \right]_{\alpha }^{1}-\int\limits_{\alpha }^{1}{{{x}^{2}}dx}=\left[ \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)f(x) \right]_{\alpha }^{1}-\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{\alpha }^{1}

δηλαδή \displaystyle{I(\alpha )=\left( {{e}^{1}}-2 \right)f(1)-\left( {{e}^{\alpha }}-a-1 \right)f(\alpha )-\frac{1}{3}{{(1-\alpha )}^{3}}} και

\displaystyle{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,I(\alpha )=\left( e-2 \right)f(1)-\frac{1}{3}} επομένως

\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}f\left( x \right)dx=\left( e-2 \right)f(1)-\frac{1}{3}}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Δέλτα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Νοέμ 11, 2016 12:57 am

Για τη μονοτονία της g(x) μια προσέγγιση μέσω πεδίου τιμών

\lim_{x\to -\infty} g'(x)=\lim_{x\to -\infty} (x+f'(x))=\lim_{x\to -\infty} \left ( x+\frac{x^2}{e^x-x-1}\right )=\\ \lim_{x\to -\infty} \left ( \frac{xe^x-x^2-x+x^2}{e^x-x-1} \right )=\lim_{x\to -\infty} \left ( \frac{xe^x-x}{e^x-x-1} \right )=\\ \lim_{x\to -\infty} \left ( \frac{e^x-1}{\frac{e^x}{x}-1-\frac{1}{x}} \right )=1

και \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{e^x-x-1}=\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x^2}{e^x-x-1} \right )=\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x^2}{x\left ( \frac{e^x}{x}-1-\frac{1}{x} \right )} \right )=\\ \lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x}{\frac{e^x}{x}-1-\frac{1}{x}} \right )=\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x^2}{e^x} \right )=\left (\frac{+\infty}{+\infty} \right )_{DLH}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x}{e^x}=\left ( \frac{+\infty}{+\infty} \right )_{DLH}=\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{2}{e^x}=0

οπότε \lim_{x\to +\infty} g'(x) =+\infty

οπότε το πεδίο τιμών της g'(x) είναι το (1,+\infty) \Rightarrow g'(x)>0 \Rightarrow g(x) \uparrow


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης