Α-τύπη

erxmer · #1

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f: [0, +\infty) \to R$ με f(0)=0

με την

γνήσια αύξουσα στο $(0, +\infty)$ . Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις $\displaystyle{g(x) = \frac{f(x)}{x}, x > 0}$ και την αρχική της

την

.

A. Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης

.

B. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

είναι κυρτή.

Γ. Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{G(3)<\int_{3}^{4}g(x)dx}$

Δ. Αν x_1, x_2 > 0, x_1 + x_2 = 4

να βρεθεί πότε η παράσταση G(x_1) + G(x_2)

έχει ελάχιστη τιμή και να βρεθεί η τιμή αυτή.

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f: [0, +\infty) \to R$ με με την γνήσια αύξουσα στο $(0, +\infty)$ . Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις $\displaystyle{g(x) = \frac{f(x)}{x}, x > 0}$ και την αρχική της την .

A. Να βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης .

B. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση είναι κυρτή.

Γ. Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{G(3)<\int_{3}^{4}g(x)dx}$

Δ. Αν να βρεθεί πότε η παράσταση έχει ελάχιστη τιμή και να βρεθεί η τιμή αυτή.

...μιά προσπάθεια....

Α) Είναι η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \frac{f(x)}{x}, x > 0}$ παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με

${g}'(x)=\frac{x{f}'(x)-f(x)}{{{x}^{2}}},x>0$ (1) Επίσης για την συνάρτηση $f: [0, +\infty) \to R$ στο διάστημα $[0,\,\,x],\,\,x>0$

σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi \in (0,\,\,x)$ ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow x{f}'(\xi )=f(x)$

επομένως ισχύει από (1) ${g}'(x)=\frac{x{f}'(x)-x{f}'(\xi )}{{{x}^{2}}}=\frac{{f}'(x)-{f}'(\xi )}{x}>0$ αφού

{f}'

είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$ και ισχύει ότι $\xi <x$ οπότε η

είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$

Β) Είναι ${G}'(x)=g(x),\,\,x>0$ αφού

είναι μία αρχική της

στο $(0,\,\,+\infty )$ και επειδή από (Α) η

είναι γνήσια αύξουσα στο

$(0,\,\,+\infty )$ η {G}'

είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$ άρα η

είναι κυρτή στο $(0,\,\,+\infty )$

Γ) Αρκεί $G(3)<\int\limits_{3}^{4}{g}(x)dx\Leftrightarrow G(3)<G(4)-G(3)\Leftrightarrow G(3)-G(2)<G(4)-G(3)$ (2)

Για την

σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα $[2,\,\,3],\,\,[3,\,\,4]$ υπάρχουν ${{\xi }_{1}}\in (2,\,\,3),\,\,{{\xi }_{2}}\in (3,\,\,4)$ ώστε

${G}'({{\xi }_{1}})=\frac{G(3)-G(2)}{3-2},\,\,{G}'({{\xi }_{2}})=\frac{G(4)-G(3)}{4-3}$ ή $g({{\xi }_{1}})=G(3)-G(2),\,\,g({{\xi }_{2}})=G(4)-G(3)$

και αφού $\displaystyle{{{\xi }_{1}}<{{\xi }_{2}}}$ και

είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,+\infty )$ ισχύει ότι

$g({{\xi }_{1}})<g({{\xi }_{2}})\Leftrightarrow G(3)-G(2)<G(4)-G(3)$ άρα η (2) ισχύει.

Δ) Για x_1, x_2 > 0, x_1 + x_2 = 4

αν ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=2$ τότε $G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})=G(2)+G(2)=0$ και αν ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$

εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα $[{{x}_{1}},\,\,\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}],\,\,[\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2},\,\,{{x}_{2}}]$

προκύπτει λόγω κυρτότητας της

η σχέση $G\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2} \right)<\frac{G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})}{2}$ και λόγω

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4$ ισχύει ότι $G\left( 2 \right)<\frac{G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})}{2}\Leftrightarrow \frac{G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})}{2}>0\Leftrightarrow G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})>0$

όμοια και αν ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ και άρα ισχύει $G({{x}_{1}})+G({{x}_{2}})\ge 0$ για κάθε x_1, x_2 > 0, x_1 + x_2 = 4

επομένως η ελάχιστη τιμή της G(x_1) + G(x_2)

είναι

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Α-τύπη

Α-τύπη

Re: Α-τύπη

Μέλη σε σύνδεση