Απόλυτη διαφορική

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Απόλυτη διαφορική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Οκτ 17, 2016 9:55 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις \displaystyle{f:R \to R} με την ιδιότητα \displaystyle{f'(x) = |f(x)|} για κάθε \displaystyle{x \in R}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6207
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Απόλυτη διαφορική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Οκτ 17, 2016 10:18 pm

Αν \displaystyle{f(x)> 0} για κάθε \displaystyle{x}, είναι \displaystyle{f'(x)=f(x),} οπότε \displaystyle{f(x)=ce^x, c> 0.}

Αν \displaystyle{f(x)< 0} για κάθε \displaystyle{x}, είναι \displaystyle{f'(x)=-f(x),} οπότε \displaystyle{f(x)=ce^{-x}, c< 0.}

Ας υποθέσουμε τώρα ότι η συνάρτηση δε διατηρεί πρόσημο, οπότε θα έχει κάποια ρίζα \displaystyle{a.}

Είναι

\displaystyle{f'(x)-f(x)=|f(x)|-f(x)\geq 0~~\forall x,} οπότε η συνάρτηση \displaystyle{e^{-x}f(x)} είναι αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}.}

Επομένως

αν \displaystyle{x>a} είναι \displaystyle{e^{-x}f(x)\geq e^{-a}f(a)=0\implies f(x)\geq 0~~\forall x\in (a,+\infty ).}

αν \displaystyle{x<a} είναι \displaystyle{e^{-x}f(x)\leq e^{-a}f(a)=0\implies f(x)\leq 0~~\forall x\in (-\infty ,a ).}

Άρα στα διαστήματα αυτά επανερχόμαστε στις αρχικές περιπτώσεις, οπότε υπάρχουν \displaystyle{m,n,} ώστε

\displaystyle{f(x)=me^x~~\forall x>a} και \displaystyle{f(x)=ne^{-x}~~\forall x<a}.

Από τη συνέχεια της συνάρτησης στο \displaystyle{a} προκύπτει \displaystyle{m=n=0,} οπότε \displaystyle{f(x)=0~~\forall x.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες