Ζωντανή

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Ζωντανή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Σάβ Οκτ 15, 2016 2:49 pm

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx-ax+1, x>0, a \in (0,1).

1) Να εξεταστεί η f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολό τιμών της

2) Να αποδειχθεί οτι έχει ακριβώς 2 ρίζες x_1,x_2

3) Aν υποθέσουμε οτι x_1<x_2, τότε δείξτε οτι \exists r_1,r_2>0 με r_1<r_2 ώστε:
\displaystyle{\frac{1}{f'(r_1)}-\frac{1}{f'(r_2)}=\frac{x_1-x_2}{lna}}

4) Αν το εμβαδό E του χωρίου μεταξύ C_f,xx' ισούται με \displaystyle{\frac{x_2-x_1}{2}} αποδείξτε οτι \displaystyle{\frac{x_2+x_1}{3}=\frac{1}{a}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ζωντανή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 16, 2016 9:14 am

1) Η \displaystyle{f} είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(0, + \infty )} με \displaystyle{f'(x) = \frac{1}{x} - a}
\displaystyle{f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x} - a \ge 0 \Leftrightarrow 1 - ax \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{a}}
Από τον πίνακα μονοτονίας βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\,\,(0,\frac{1}{a}]\,} και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{\,[\frac{1}{a}, + \infty )} .
Ακόμα \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) =  - \infty ,}
\displaystyle{\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x\left( {\frac{{\ln x}}{x} - a + \frac{1}{x}} \right)} \right] =  - \infty }.
Στο \displaystyle{x = \frac{1}{a}} παρουσιάζει μέγιστο ίσο με \displaystyle{f(\frac{1}{a}) =  - \ln a - 1 + 1 =  - \ln a > 0\,} αφού \displaystyle{a < 1}
Το σύνολο τιμών της είναι το \displaystyle{\,\,( - \infty , - \ln a)}

2) Αν \displaystyle{x \in \left( {0,\frac{1}{a}} \right]\,\, \Rightarrow f(x) \in ( - \infty , - \ln a]} και αν \displaystyle{x \in \left( {\frac{1}{a}, + \infty } \right) \Rightarrow f(x) \in ( - \ln a, - \infty )} .
Επειδή το \displaystyle{\,\,0} ανήκει σ΄αυτά τα διαστήματα και η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από αυτά , η εξίσωση \displaystyle{\,\,f(x) = 0} έχει ακριβώς δύο ρίζες .

3) Με ΘΜΤ (του οποίου οι προϋποθέσεις ισχύουν ) στα διαστήματα \displaystyle{[{x_1},\frac{1}{a}],\left[ {\frac{1}{a},{x_2}} \right]}

βρίσκουμε ότι υπάρχουν \displaystyle{\,{r_1},{r_2}} με \displaystyle{f'({r_1}) = \frac{{f(\frac{1}{a}) - f({x_1})}}{{\frac{1}{a} - {x_1}}} = \frac{{ - a\ln a}}{{1 - a{x_1}}}}
και \displaystyle{f'({r_2}) = \frac{{f({x_2}) - f(\frac{1}{a})}}{{{x_2} - \frac{1}{a}}} = \frac{{a\ln a}}{{a{x_2} - 1}}}

, οπότε
\displaystyle{\frac{1}{{f'({r_1})}} - \frac{1}{{f'({r_2})}} = \frac{{1 - a{x_1}}}{{ - a\ln a}} - \frac{{a{x_2} - 1}}{{a\ln a}} = \frac{{a({x_2} - {x_1})}}{{ - a\ln a}} = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{lna}}}

4) 4) Η \displaystyle{{C_f}\,\,} τέμνει τον \displaystyle{x'x} στα \displaystyle{{x_1},{x_2}} και από τον πίνακα μονοτονίας έχουμε ότι \displaystyle{f(x) \ge 0} στο \displaystyle{\left[ {{x_1},{x_2}} \right]} . Επομένως:

\displaystyle{\begin{array}{l} 
 E = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {f(x)dx = } \int_{{x_1}}^{{x_2}} {(\ln x - ax + 1)dx = } \int_{{x_1}}^{{x_2}} {(x'\ln x)dx + } \int_{{x_1}}^{{x_2}} {( - ax + 1)dx = }  \\  
  \\  
  = \left[ {x\ln x} \right]_{{x_1}}^{{x_2}} - \int_{{x_1}}^{{x_2}} {1dx + } \left[ { - \frac{{a{x^2}}}{2} + x} \right]_{{x_1}}^{{x_2}} = {x_2}\ln {x_2} - {x_1}\ln {x_1} - {x_2} + {x_1} - \frac{{a{x_2}^2}}{2} + {x_2} + \frac{{a{x_1}^2}}{2} - {x_1} =  \\  
  \\  
  = {x_2}(a{x_2} - 1) - {x_1}(a{x_1} - 1) - \frac{{a{x_2}^2}}{2} + \frac{{a{x_1}^2}}{2} = \frac{{a{x_2}^2}}{2} - \frac{{a{x_1}^2}}{2} - {x_2} + {x_1} =  \\  
  = ({x_2} - {x_1})\left[ {\frac{{a({x_2} + {x_1})}}{2} - 1} \right] = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{2}[a({x_2} + {x_1}) - 2] \\  
 \end{array}}
Επομένως : \displaystyle{\frac{{{x_2} - {x_1}}}{2}[a({x_2} + {x_1}) - 2] = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{2} \Leftrightarrow a({x_2} + {x_1}) - 2 = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x_2} + {x_1}}}{3} = \frac{1}{a}} , αφού \displaystyle{{x_2} \ne {x_1}}


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης