...Εξίσωση ...

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

maiksoul
Δημοσιεύσεις: 607
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

...Εξίσωση ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Παρ Οκτ 14, 2016 1:02 pm

Έστω οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} οι οποίες έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας και για τις οποίες ισχύει : f^{3}(x)-f^{2}(x)+f(x)=\left | g(x) \right |\;\;\;\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)
Να λυθεί η εξίσωση: \left | g(x)+2g(x^{2})+1\right |-\left | 2g(x) \right |=\left | g(x^{2})+1 \right |


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2882
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ...Εξίσωση ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Οκτ 15, 2016 3:38 am

Θα απαντήσω αν και θεωρώ ότι τέτοιες ασκήσεις δεν υπηρετούν τον σκοπό για τον οποίο έχουν γίνει.

Η λύση στηρίζεται σε δύο πράγματα που διαισθητικά είναι προφανή .

1)Αν οι συναρτήσεις g(x),\left | g(x) \right | έχουν το ίδιο είδος γνήσιας μονοτονίας τότε g(x)\geq 0
(από ένα σχήμα φαίνεται αμέσως)

2)Αν η h είναι γνησίως αύξουσα και f μονότονη τότε η hof έχει το ίδιο είδος
μονοτονίας με την f

Αν θέσουμε h(x)=x^{3}-x^{2}+x τότε h'(x)=3x^{2}-2x+1> 0

Αρα η h είναι γνησίως αύξουσα.

Η δοσμένη σχέση γράφεται h(f(x))=\left | g(x) \right |

Με βάση τα 1,2 οι συναρτήσεις f,g,\left | g \right | έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας οπότε
g(x)\geq 0

Ετσι η δεύτερη σχέση γίνεται g(x)=g(x^{2}) και λόγω του 1-1
έχουμε x=0,1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης