ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#1

...Καλησπέρα

μια αποψινή δημιουργία μάλλον απαιτητική...

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\to R$ , η οποία είναι συνεχής στο

και ισχύει ότι $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1,\,\,\,\,x,y\in R$ .

Αν γνωρίζουμε ότι $5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}$ τότε:

Α. Υπάρχει $\xi \in (0,\,\,1)$ ώστε $3f(\xi )=2f(1)$

Β. Αν επιπλέον ακόμη ισχύει

• $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$
• $\displaystyle{f(x)\ge 2x,\,\,\,x\in R}$

τότε να δείξετε ότι :

i) f(1)=2

ii) $2f(x)+1\ge f(x+1),\,\,\,x\in R$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Rempeskes · #2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπέρα μια αποψινή δημιουργία μάλλον απαιτητική...

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\to R$ , η οποία είναι συνεχής στο και ισχύει ότι $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1,\,\,\,\,x,y\in R$ .

Αν γνωρίζουμε ότι $5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}$ τότε:

Α. Υπάρχει $\xi \in (0,\,\,1)$ ώστε $3f(\xi )=2f(1)$

Β. Αν επιπλέον ακόμη ισχύει

• $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$
• $\displaystyle{f(x)\ge 2x,\,\,\,x\in R}$

τότε να δείξετε ότι :

i)

ii) $2f(x)+1\ge f(x+1),\,\,\,x\in R$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλημέρα.

Μια αντιμετώπιση για την δημιουργία του κ.Βασίλη:

Α)

$\displaystyle{5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} }$

$\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{5f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2f(x+1)dx}}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{3f(x)+2(f(x)-f(x+1))dx}=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{3f(x)+2(-f(1)-2x+1)dx}=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( 3f(x)-2f(1)-4x+2 \right)dx}=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{(3f(x)-2f(1))dx} + \left[2x-2x^2 \right]_0^1 =0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{ (3f(x)-2f(1))dx}=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \exists \xi \in \left(0,1 \right):3f(\xi)-2f(1)=0\Rightarrow \boxed{3f(\xi)=2f(1)}}$

B)

i)

$\displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x+1)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( f(x+1)-f(x)\right)dx}=2}$

$\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( f(1)+2x-1\right)dx}=2 \Rightarrow \left[f(1)x+x^2 -x \right]_0^1 =2\Rightarrow \boxed{f(1)=2}}$

ii)

Ισχύει,

$\displaystyle{f(x)\geq 2x\Rightarrow 1+f(x)\geq (f(1)-1)+2x\Rightarrow 1+f(x)\geq f(x+1)-f(x) \Rightarrow \boxed{2f(x)+1\geq f(x+1)}}$

#3

Αν $\displaystyle{f(x)-x^2-1=g(x)}$ τότε $\displaystyle{g(x+y)=g(x)+g(y)}$ άρα Cauchy και συνεχής $\displaystyle{g(x)=ax}$ οποτε $\displaystyle{f(x)=ax+x^2+1}$ και ανικαθιστώντας στην σχέση που δίνεται $\displaystyle{a=0}$

#4

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Δίνεται η συνάρτηση $f:R\to R$ , η οποία είναι συνεχής στο και ισχύει ότι
$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1,{\color{red}(1)},\,\,\,\,x,y\in R$ .

Αν γνωρίζουμε ότι $5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}\color{red}(2)$ τότε:

Α. Υπάρχει $\xi \in (0,\,\,1)$ ώστε $3f(\xi )=2f(1)$

Β. Αν επιπλέον ακόμη ισχύει

• $\boxed{\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}$
• $\displaystyle{f(x)\ge 2x,\,\,\,x\in R}$

τότε να δείξετε ότι :

i)

ii) $2f(x)+1\ge f(x+1),\,\,\,x\in R$

...Καλησπέρα...

$y=1 \quad (1)\Rightarrow f(x+1)=f(x)+f(1)+2x-1\Rightarrow$ $\int_{0}^1f(x+1)dx=\int_{0}^1 (f(x) +f(1)+2x-1)dx\Rightarrow$

$\boxed{\int_{1}^2f(x)dx=\int_{0}^1 f(x)dx +f(1)}\stackrel{(2)}\Rightarrow 3\int_{0}^1f(x)dx=2f(1)\Rightarrow$

$3(F(1)-F(0))=2f(1)\Rightarrow 3f(\xi)=2f(1)$ , όπου

μια παράγουσα της

στο

,έγινε ένα ΘΜΤ στο [0,1]

για την

Φανερά είναι f(1)=2

και $f(x+1)=f(x)+2x+1,x\in \mathbb R$

$f(x)\geq 2x \quad \forall x\in \mathbb R$

$2f(x)\geq f(x)+2x\Rightarrow 2f(x)+1\geq f(x)+2x+1\Rightarrow 2f(x)+1\geq f(x+1),x\in \mathbb R$

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ-ΥΠΑΡΞΗ-ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Μέλη σε σύνδεση