ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

nikoszan · #1

Να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης $f:\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) \to \mathbb{R}$ με
$f\left( x \right) = {\left( {\sin x} \right)^{2{{\sin }^2}x}} + {\left( {\cos x} \right)^{2{{\cos }^2}x}}$
Ν.Ζ.

#2

Η $x\mapsto x^x$ είναι κυρτή, οπότε από Jensen είναι $\diplaystyle {\left( {\sin x} \right)^{2{{\sin }^2}x}} + {\left( {\cos x} \right)^{2{{\cos }^2}x}} \geq \sqrt{2}.$

#3

nikoszan έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 13, 2012 1:02 am
Να βρεθεί το ελάχιστο της συνάρτησης $f:\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) \to \mathbb{R}$ με
$f\left( x \right) = {\left( {\sin x} \right)^{2{{\sin }^2}x}} + {\left( {\cos x} \right)^{2{{\cos }^2}x}}$
Ν.Ζ.

...Χρόνια πολλά

σε όλο το

...δίνοντας αναλυτικά αυτό

που είχε δώσει ο Θανάσης πριν από χρόνια στην άσκηση του Νίκου....

Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $g\left( t \right)={{t}^{t}},\,\,0<t<1$ αυτή είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με

${g}'\left( t \right)={{\left( {{e}^{t\ln t}} \right)}^{\prime }}=g(t)(t\ln t{)}'=g(t)(lnt+1)$ και

$\displaystyle {g}''\left( t \right)={g}'(t)(lnt+1)+g(t)\frac{1}{t}=g(t){{(lnt+1)}^{2}}+g(t)\frac{1}{t}>0$ άρα είναι κυρτή και θα ισχύει η

« γνωστή» ανισότητα του Jensen (…με απόδειξη…) ότι

$\displaystyle g(\frac{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}{2})\le \frac{g({{t}_{1}})+g({{t}_{2}})}{2},{{t}_{1}},{{t}_{2}}\in (0,1)$ και για

$\displaystyle {{t}_{1}}={{\sin }^{2}}x,\,\,{{t}_{2}}={{\cos }^{2}}x$ έχουμε

$\displaystyle g(\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{2})\le \frac{g({{\sin }^{2}}x)+g({{\cos }^{2}}x)}{2}\Leftrightarrow g(\frac{1}{2})\le \frac{{{({{\sin }^{2}}x)}^{({{\sin }^{2}}x)}}+{{({{\cos }^{2}}x)}^{({{\cos }^{2}}x)}}}{2}$

$\displaystyle 2{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{2}}}\le {{(\sin x)}^{(2{{\sin }^{2}}x)}}+{{(\cos x)}^{(2{{\cos }^{2}}x)}}\Leftrightarrow \sqrt{2}\le f(x)$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μέλη σε σύνδεση