Ζωντανή

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=lnx-ax+1, x>0, a \in (0,1)$ .

1) Να εξεταστεί η

ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, και να βρεθεί το σύνολό τιμών της

2) Να αποδειχθεί οτι έχει ακριβώς

ρίζες

3) Aν υποθέσουμε οτι x_1<x_2

, τότε δείξτε οτι $\exists r_1,r_2>0$ με r_1<r_2

ώστε:
$\displaystyle{\frac{1}{f'(r_1)}-\frac{1}{f'(r_2)}=\frac{x_1-x_2}{lna}}$

4) Αν το εμβαδό

του χωρίου μεταξύ C_f,xx'

ισούται με $\displaystyle{\frac{x_2-x_1}{2}}$ αποδείξτε οτι $\displaystyle{\frac{x_2+x_1}{3}=\frac{1}{a}}$

#2

1) Η $\displaystyle{f}$ είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(0, + \infty )}$ με $\displaystyle{f'(x) = \frac{1}{x} - a}$
$\displaystyle{f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x} - a \ge 0 \Leftrightarrow 1 - ax \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{a}}$
Από τον πίνακα μονοτονίας βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\,\,(0,\frac{1}{a}]\,}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\,[\frac{1}{a}, + \infty )}$ .
Ακόμα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = - \infty ,}$
$\displaystyle{\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x\left( {\frac{{\ln x}}{x} - a + \frac{1}{x}} \right)} \right] = - \infty }$ .
Στο $\displaystyle{x = \frac{1}{a}}$ παρουσιάζει μέγιστο ίσο με $\displaystyle{f(\frac{1}{a}) = - \ln a - 1 + 1 = - \ln a > 0\,}$ αφού $\displaystyle{a < 1}$
Το σύνολο τιμών της είναι το $\displaystyle{\,\,( - \infty , - \ln a)}$

2) Αν $\displaystyle{x \in \left( {0,\frac{1}{a}} \right]\,\, \Rightarrow f(x) \in ( - \infty , - \ln a]}$ και αν $\displaystyle{x \in \left( {\frac{1}{a}, + \infty } \right) \Rightarrow f(x) \in ( - \ln a, - \infty )}$ .
Επειδή το $\displaystyle{\,\,0}$ ανήκει σ΄αυτά τα διαστήματα και η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από αυτά , η εξίσωση $\displaystyle{\,\,f(x) = 0}$ έχει ακριβώς δύο ρίζες .

3) Με ΘΜΤ (του οποίου οι προϋποθέσεις ισχύουν ) στα διαστήματα $\displaystyle{[{x_1},\frac{1}{a}],\left[ {\frac{1}{a},{x_2}} \right]}$

βρίσκουμε ότι υπάρχουν $\displaystyle{\,{r_1},{r_2}}$ με $\displaystyle{f'({r_1}) = \frac{{f(\frac{1}{a}) - f({x_1})}}{{\frac{1}{a} - {x_1}}} = \frac{{ - a\ln a}}{{1 - a{x_1}}}}$
και $\displaystyle{f'({r_2}) = \frac{{f({x_2}) - f(\frac{1}{a})}}{{{x_2} - \frac{1}{a}}} = \frac{{a\ln a}}{{a{x_2} - 1}}}$

, οπότε
$\displaystyle{\frac{1}{{f'({r_1})}} - \frac{1}{{f'({r_2})}} = \frac{{1 - a{x_1}}}{{ - a\ln a}} - \frac{{a{x_2} - 1}}{{a\ln a}} = \frac{{a({x_2} - {x_1})}}{{ - a\ln a}} = \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{lna}}}$

4) 4) Η $\displaystyle{{C_f}\,\,}$ τέμνει τον $\displaystyle{x'x}$ στα $\displaystyle{{x_1},{x_2}}$ και από τον πίνακα μονοτονίας έχουμε ότι $\displaystyle{f(x) \ge 0}$ στο $\displaystyle{\left[ {{x_1},{x_2}} \right]}$ . Επομένως:

$\displaystyle{\begin{array}{l} E = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {f(x)dx = } \int_{{x_1}}^{{x_2}} {(\ln x - ax + 1)dx = } \int_{{x_1}}^{{x_2}} {(x'\ln x)dx + } \int_{{x_1}}^{{x_2}} {( - ax + 1)dx = } \\ \\ = \left[ {x\ln x} \right]_{{x_1}}^{{x_2}} - \int_{{x_1}}^{{x_2}} {1dx + } \left[ { - \frac{{a{x^2}}}{2} + x} \right]_{{x_1}}^{{x_2}} = {x_2}\ln {x_2} - {x_1}\ln {x_1} - {x_2} + {x_1} - \frac{{a{x_2}^2}}{2} + {x_2} + \frac{{a{x_1}^2}}{2} - {x_1} = \\ \\ = {x_2}(a{x_2} - 1) - {x_1}(a{x_1} - 1) - \frac{{a{x_2}^2}}{2} + \frac{{a{x_1}^2}}{2} = \frac{{a{x_2}^2}}{2} - \frac{{a{x_1}^2}}{2} - {x_2} + {x_1} = \\ = ({x_2} - {x_1})\left[ {\frac{{a({x_2} + {x_1})}}{2} - 1} \right] = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{2}[a({x_2} + {x_1}) - 2] \\ \end{array}}$
Επομένως : $\displaystyle{\frac{{{x_2} - {x_1}}}{2}[a({x_2} + {x_1}) - 2] = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{2} \Leftrightarrow a({x_2} + {x_1}) - 2 = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x_2} + {x_1}}}{3} = \frac{1}{a}}$ , αφού $\displaystyle{{x_2} \ne {x_1}}$

Ζωντανή

Ζωντανή

Re: Ζωντανή

Μέλη σε σύνδεση