Ζητείται η συνάρτηση

#1

Δίνεται μια συνάρτηση

, για την οποία ισχύει ότι:

$\displaystyle{f(\frac{x-1}{x+1})=\frac{x^3 +x-10}{x^2 -x-2}}$

Να βρεθεί ο τύπος και το ευρύτερο σύνολο στο οποίο ορίζεται η εν λόγω συνάρτηση.

ΣΗΜ: (Βρήκα παρόμοια στο διαδίκτυο και την τροποποίησα, ώστε να έχει λίγο περισσότερο ενδιαφέρον)

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 8:45 am
Δίνεται μια συνάρτηση , για την οποία ισχύει ότι:

$\displaystyle{f(\frac{x-1}{x+1})=\frac{x^3 +x-10}{x^2 -x-2}}$

Να βρεθεί ο τύπος και το ευρύτερο σύνολο στο οποίο ορίζεται η εν λόγω συνάρτηση.

ΣΗΜ: (Βρήκα παρόμοια στο διαδίκτυο και την τροποποίησα, ώστε να έχει λίγο περισσότερο ενδιαφέρον)

Για $x\ne -1, x\ne 2,$ η δοσμένη σχέση γράφεται $\displaystyle f\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}}$

Θέτω $\displaystyle \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = t \Leftrightarrow x = \frac{{t + 1}}{{1 - t}}$ και έχω $\displaystyle f(t) = \frac{{2{t^2} - 4t + 4}}{{1 - t}},t \ne 1$

Άρα, $\displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}},x \in \mathbb{R} - \left\{ { - 1,1,2} \right\}$

abgd · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 10:34 am
Άρα, $\displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}},x \in \mathbb{R} - \left\{ { - 1,1,2} \right\}$

Οι περιορισμοί που προκύπτουν για το $\displaystyle{x}$ κατά τη διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να περιορίσουν και το πεδίο ορισμού της.
Μπορούμε την συνάρτηση να την ορίσουμε σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Για παράδειγμα η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}}, \ \ x\ne1 & \\ 5, \ \ x=1& \end{matrix} }$ ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

#5

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 1:27 pm

abgd έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 10:57 am

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 10:34 am
Άρα, $\displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}},x \in \mathbb{R} - \left\{ { - 1,1,2} \right\}$
Οι περιορισμοί που προκύπτουν για το $\displaystyle{x}$ κατά τη διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να περιορίσουν και το πεδίο ορισμού της.
Μπορούμε την συνάρτηση να την ορίσουμε σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Για παράδειγμα η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}}, \ \ x\ne1 & \\ 5, \ \ x=1& \end{matrix} }$ ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.
Για η αρχική γίνεται: $f\left( \displaystyle\frac{-2}{0} \right)=\displaystyle\frac{-12}{-2}=6$ . Αυτό εννοείται ;

Όχι, δεν εννοεί αυτό. Εννοεί ότι η ζητούμενη συνάρτηση ορίζεται από τη σχέση που δίνεται για όλες τις τιμές, εκτός του $\displaystyle{1}$ , δεδομένου ότι η $\displaystyle{\frac{x-1}{x+1}}$ έχει σύνολο τιμών τους πραγματικούς πλην του ενός.

abgd · #6

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 1:27 pm

abgd έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 10:57 am

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 10:34 am
Άρα, $\displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}},x \in \mathbb{R} - \left\{ { - 1,1,2} \right\}$
Οι περιορισμοί που προκύπτουν για το $\displaystyle{x}$ κατά τη διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να περιορίσουν και το πεδίο ορισμού της.
Μπορούμε την συνάρτηση να την ορίσουμε σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Για παράδειγμα η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}}, \ \ x\ne1 & \\ 5, \ \ x=1& \end{matrix} }$ ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.
Για η αρχική γίνεται: $f\left( \displaystyle\frac{-2}{0} \right)=\displaystyle\frac{-12}{-2}=6$ . Αυτό εννοείται ;

Μην μπερδεύεσαι!

Η αρχική συνθήκη είναι: $\displaystyle{\boxed{ f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{x^3+x-10}{{x^2-x-2}}, \ \ x \in \mathbb{R} - \left\{ { - 1,2} \right\}}}$

Μπορείς εύκολα να ελέγξεις ότι η συνάρτηση που δίνω ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη.

#7

Μπορεί και να κάνω λάθος, αλλά νομίζω ότι χρειάζεται μια συζήτηση για το ποιο είναι τελικά το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$

Η δική μου άποψη είναι ότι το πεδίο ορισμού είναι το $\displaystyle{A=R - \{1 , \frac{1}{3}\}}$

abgd · #8

Δημήτρη, δεν καταλαβαίνω πως προκύπτουν οι περιορισμοί.

Ας δουλέψουμε σε κάτι πιο απλό....

Ποια μπορεί να είναι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{f(e^x)=x, \ \ x \in \mathbb{R}$ ;

ή

Ποια μπορεί να είναι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{f(e^x)=x, \ \ x >-2}$ ;

Αν ορίσουμε οποιαδήποτε συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)=lnx, \ \ x>0$ , τότε έχουμε απαντήσει στο ζητούμενο.

#9

abgd έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 9:26 pm
Δημήτρη, δεν καταλαβαίνω πως προκύπτουν οι περιορισμοί.

Ας δουλέψουμε σε κάτι πιο απλό....

Ποια μπορεί να είναι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{f(e^x)=x, \ \ x \in \mathbb{R}$ ;

ή

Ποια μπορεί να είναι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{f(e^x)=x, \ \ x >-2}$ ;

Αν ορίσουμε οποιαδήποτε συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)=lnx, \ \ x>0$ , τότε έχουμε απαντήσει στο ζητούμενο.

Το βλέπω ως εξής:

Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\frac{x-1}{x+1}}$ , που έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{R-\{-1\}}$

Αν πούμε ότι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ είναι το $\displaystyle{R}$ , τότε ας δούμε ποιο θα είναι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{fog}$

Είναι: $\displaystyle{A_{fog}=\{x\in A_g :g(x)\in A_f\}=\{x\neq -1 : \frac{x-1}{x+1}\in R\}=R-\{-1\}}$

Όμως, το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{fog}$ , όπως από την υπόθεση έχει δοθεί, δεν περιλαμβάνει το $\displaystyle{2}$ .

Δηλαδή $\displaystyle{A_{fog} = R-\{-1 , 2\}}$ και όχι αυτό που βρήκαμε.

Ας περιμένουμε και απόψεις και από άλλα μέλη μας.

abgd · #10

Δημήτρη, είναι τελείως διαφορετικό το ερώτημα αυτό:
"Αν το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{g}$ είναι το $\displaystyle{A}$ και το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{fog}$ είναι το $\displaystyle{B}$ , ποιο μπορεί να είναι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ ;"

Αν κάποιος πολλαπλασίαζε με $\displaystyle{x}$ τους όρους του κλάσματος στην αρχική συνθήκη που δίνεις,
αυτό θα σήμαινε ότι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{fog}$ θέλουμε να είναι το $\displaystyle{\mathbb{R}-\{-1,2,0\}}$
ή
ότι ισχύει αυτή η ισότητα για $\displaystyle{x\in \mathbb{R}-\{-1,2,0\}}$ ;

Θέλω να πω ότι αν μας ενδιαφέρει να είναι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{fog}$ ένα συγκεκριμένο σύνολο, αυτό θα πρέπει να το δηλώσουμε.
Δεν προκύπτει άμεσα, από τη δοσμένη συνθήκη, ποιο θέλουμε να είναι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{fog}$ .

abgd · #11

Να το πω και λίγο διαφορετικά:

Πες ότι έχω τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ και γράψω ότι ισχύει $\displaystyle{f(x)=\frac{x^2}{x}}$ , αυτό θα σήμαινε ότι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ είναι το $\displaystyle{\matgbb{R^*}}$ ;

#12

abgd έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 11:54 pm
Να το πω και λίγο διαφορετικά:

Πες ότι έχω τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ και γράψω ότι ισχύει $\displaystyle{f(x)=\frac{x^2}{x}}$ , αυτό θα σήμαινε ότι το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ είναι το $\displaystyle{\matgbb{R^*}}$ ;

Δεν μπορώ να αντικρούσω ή να αποδεχτώ την πλευρά που βλέπεις το θέμα. Θα ήθελα τις απόψεις και άλλων μελών μας.
Σίγουρα, χρειάζεται ξεκαθάρισμα.

Τώρα, που λες , αν κατάλαβα καλά, ότι αν την συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=x}$ , που έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{R}$ ,
την γράψουμε με τύπο $\displaystyle{\frac{x^2}{x}}$ , ρωτώντας ότι αν θα αλλάξει το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ , σίγουρα δεν αλλάζει
όμως η $\displaystyle{g(x)=\frac{x^2}{x}}$ είναι μια διαφορετική συνάρτηση από την $\displaystyle{f(x)}$ . Δηλαδή, δεν μπορούμε να πούμε ότι
$\displaystyle{f=g}$ .
Βέβαια υποθέτω ότι κάτι άλλο θέλεις να πεις, όμως έχω ακόμα τις επιφυλάξεις μου και σίγουρα θα πρέπει να ακούσουμε και μια τρίτη άποψη.

Στο μεταξύ να πω ακόμα, ότι αν στην δοσμένη σχέση δεν κάνουμε την απλοποίηση στην αρχή, αλλά αντικαταστήσουμε το
$\displaystyle{\frac{x-1}{x+1}}$ με το $\displaystyle{y}$ , θα φανεί ότι στον τύπο της $\displaystyle{f}$ που θα βρούμε, πρέπει να υπάρχουν οι περιορισμοί:
$\displaystyle{x\neq -1}$ και $\displaystyle{x\neq \frac{1}{3}}$ .

Ξανατονίζω ότι εκφράζω προσωπική άποψη και μπορεί ο συλλογισμός μου να είναι λάθος.

#13

Έχουμε την αρχική σχέση $\displaystyle{f(\frac{x-1}{x+1})=\frac{x^3 +x-10}{x^2 -x-2}}$ (1)

και τον τύπο που προέκυψε μετά τις πράξεις $\displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}}$ (2)

Από τον τύπο (2)

είναι $\displaystyle f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{13}}{3}.$ Αν όμως βάλουμε στη σχέση (1)

το

τότε το $\displaystyle f\left( {\frac{1}{3}} \right)$ δεν ορίζεται,

αφού είναι της απροσδιόριστης μορφής $\dfrac{0}{0}.$ Εξάλλου από τον τελικό τύπο, το

δεν μπορεί να πάρει την τιμή

Νομίζω

λοιπόν, ότι οι αριθμοί $1, \dfrac{1}{3}$ πρέπει να εξαιρεθούν από το πεδίο ορισμού.

abgd · #14

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 9:09 am

Από τον τύπο είναι $\displaystyle f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{13}}{3}.$ Αν όμως βάλουμε στη σχέση το τότε το $\displaystyle f\left( {\frac{1}{3}} \right)$ δεν ορίζεται,

αφού είναι της απροσδιόριστης μορφής $\dfrac{0}{0}.$ Εξάλλου από τον τελικό τύπο, το δεν μπορεί να πάρει την τιμή Νομίζω

λοιπόν, ότι οι αριθμοί $1, \dfrac{1}{3}$ πρέπει να εξαιρεθούν από το πεδίο ορισμού.

Καλημέρα.

Γιώργο στην ισότητα (1)

δεν μπορείς να βάλεις το x=2,

. Η ισότητα αυτή ισχύει για $x\ne 2$ και $x\ne -1$ . Οι τιμές για τις οποίες ισχύει η ισότητα δεν καθορίζουν και το πεδίο ορισμού της

.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 1:58 am
Τώρα, που λες , αν κατάλαβα καλά, ότι αν την συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=x}$ , που έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{R}$ ,
την γράψουμε με τύπο $\displaystyle{\frac{x^2}{x}}$ , ρωτώντας ότι αν θα αλλάξει το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ , σίγουρα δεν αλλάζει
όμως η $\displaystyle{g(x)=\frac{x^2}{x}}$ είναι μια διαφορετική συνάρτηση από την $\displaystyle{f(x)}$ . Δηλαδή, δεν μπορούμε να πούμε ότι
$\displaystyle{f=g}$ .
Βέβαια υποθέτω ότι κάτι άλλο θέλεις να πεις, όμως έχω ακόμα τις επιφυλάξεις μου και σίγουρα θα πρέπει να ακούσουμε και μια τρίτη άποψη.

Δημήτρη oi προτάσεις:

"Έχω την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{x^2}{x}}$ "
και
"Για την συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ισχύει η ισότητα $\displaystyle{f(x)=\frac{x^2}{x}}$ "

είναι δύο διαφορετικές προτάσεις.

Η πρώτη δηλώνει, συγχρόνως με τον τύπο της $\displaystyle{f}$ , και το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ .

Η δεύτερη δεν μας λέει κάτι για το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ . Αυτό που μας δηλώνει είναι ότι για κάποια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , για την οποία δεν ξέρω το πεδίο ορισμού της, ισχύει αυτή η ισότητα, προφανώς για κάθε $\displaystyle{x\ne0}$ .

#15

Επειδή για το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$ υπάρχουν διαφορετικές απόψεις, θα προσπαθήσω να συζητήσω το θέμα με άλλους συναδέλφους

και θα επανέλθω.

orestisgotsis · #16

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #17

Είναι λυπηρό να είμαστε μαθηματικοί, να μιλάμε για μαθηματικά και... να μην μπορούμε να συνεννοηθούμε!

#18

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 8:30 pm

abgd έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 10:57 am
Οι περιορισμοί που προκύπτουν για το $\displaystyle{x}$ κατά τη διαδικασία εύρεσης της συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να περιορίσουν και το πεδίο ορισμού της.
Μπορούμε την συνάρτηση να την ορίσουμε σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Για παράδειγμα η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{{2{x^2} - 4x + 4}}{{1 - x}}, \ \ x\ne1 & \\ 5, \ \ x=1& \end{matrix} }$ ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.
Έστω $h\left( x \right)={{x}^{2}}$ και $g\left( x \right)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x}}$ με πεδία ορισμού τα ευρύτερα υποσύνολα του $\mathbb{R}$ .

Τότε $f\left( x \right)=\left( h\circ g \right)\left( x \right)=h\left( g(x) \right)=\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{x}$ . Αναφέρομαι σε ό,τι έχω υπογραμμίσει μόνο.

Εδώ ποιό είναι το πεδίο ορισμού της $f\,\,$ ;

Εδώ είναι διαφορετικό το ερώτημα Ορέστη. Ζητάς το πεδίο ορισμού της σύνθεσης δύο συναρτήσεων των οποίων δίνεται ο τύπος και το πεδίο ορισμού τους. Είναι:

$\displaystyle{A_{hog}=\{x\in A_g : g(x)\in A_{h}\}=\{x\in(0, +\propto ): \frac{x}{\sqrt{x}}\in R\}=(0 , +\propto)}$

#19

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 8:39 pm
Μπορεί και να κάνω λάθος, αλλά νομίζω ότι χρειάζεται μια συζήτηση για το ποιο είναι τελικά το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$

Η δική μου άποψη είναι ότι το πεδίο ορισμού είναι το $\displaystyle{A=R - \{1 , \frac{1}{3}\}}$

Δε βλέπω γιατί πρέπει να εξαιρεθεί το 1/3 ή ακόμα και το 1.

Τι μας εμποδίζει να επεκτείνουμε την

σε όλο το $\mathbb{R}$ και να την ορίσουμε στο

και στο $\frac{1}{3}$ όπως θέλουμε;

Τίποτα.

Από τη στιγμή που ζητάτε το "το ευρύτερο σύνολο στο οποίο ορίζεται η εν λόγω συνάρτηση", αυτό είναι το $\mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#20

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 09, 2023 8:58 pm
Είναι λυπηρό να είμαστε μαθηματικοί, να μιλάμε για μαθηματικά και... να μην μπορούμε να συνεννοηθούμε!

Πιστεύω ότι τώρα ίσως μπορέσουμε να βγάλουμε άκρη

ΠΡΩΤΗ ΑΣΚΗΣΗ: Δίνεται μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ και μια ακόμα $\displaystyle{g}$ με $\displaystyle{g(x)=x-2}$ .

Αν $\displaystyle{(fog)(x) = \frac{x^2 -x}{x}}$ , να βρεθεί ο τύπος και το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$

ΛΥΣΗ:

Έχουμε $\displaystyle{f(g(x)) = x-1 , }$ , όπου $\displaystyle{x\neq 0}$

Άρα: $\displaystyle{f(x-2)=x-1}$ , $\displaystyle{x\neq 0}$ , (1)

Θέτουμε $\displaystyle{x-2=y\Leftrightarrow x=y+2}$ , όπου $\displaystyle{y+2\neq 0\Leftrightarrow y\neq -2}$

Τότε η (1) γράφεται: $\displaystyle{f(y)=y+2-1\Leftrightarrow f(y)=y+1}$ , για κάθε $\displaystyle{y\neq -2}$

Άρα $\displaystyle{f(x)=x+1 , }$ για κάθε $\displaystyle{x\neq -2}$ .

Δηλαδή, ο τύπος της $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{f(x)=x+1}$ και το πεδίο ορισμού της είναι το $\displaystyle{R-\{-2\}}$

ΔΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ: Δίνεται μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ για την οποία ισχύει ότι: $\displaystyle{f(x-2) = \frac{x^2 -x}{x}}$

Να βρεθεί ο τύπος και το ευρύτερο πεδίο στο οποίο μπορεί η $\displaystyle{f}$ να ορίζεται.

ΛΥΣΗ:

Έχουμε $\displaystyle{f(x-2) = x-1}$ , $\displaystyle{x\neq 0}$ , (2)

Θέτουμε $\displaystyle{x-2=y\Leftrightarrow x=y+2}$ , με $\displaystyle{y+2\neq 0\Leftrightarrow y\neq -2}$

Άρα η (2) γράφεται: $\displaystyle{f(y)=y+1}$ , για κάθε $\displaystyle{y\neq -2}$

Άρα $\displaystyle{f(x)=x+1}$ , για κάθε $\displaystyle{x\neq -2}$

Επεκτείνοντας την $\displaystyle{f}$ , ώστε να ορίζεται και στο $\displaystyle{-2}$ , (εδώ, χωρίς πρόβλημα, μπορούμε να γράψουμε:

$\displaystyle{f(x)=x+1}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ , έχουμε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και το ευρύτερο πεδίο ορισμού που μπορούμε να πάρουμε

είναι το $\displaystyle{R}$ .

Αν συμφωνούμε, τότε θα έχουμε να κάνουμε με τον τρόπο που διατυπώθηκε η αρχική άσκηση, οπότε το θέμα λήγει.

Αν όχι, χρειάζεται περισσότερη συζήτηση νομίζω, για όσα μέλη μας βέβαια το επιθυμούν.

(Και μια σημείωση: Συχνά έχουμε διαφωνίες μεταξύ των μαθηματικών και όχι μόνο. Αυτό κάθε άλλο παρά λυπηρό είναι κατά

την άποψη μου. Αντίθετα, είναι αρκετά χρήσιμο και για όσους παίρνουν μέρος στην διαφωνία αλλά και για όσους παρακολουθούν

την συζήτηση. )

Ζητείται η συνάρτηση

Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Re: Ζητείται η συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση