Παραβολή και κύκλος

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραβολή και κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 14, 2022 9:36 am

Παραβολή και κύκλος.png
Παραβολή και κύκλος.png (17.39 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
\bigstar Η παραβολή του σχήματος εφάπτεται του κύκλου στον βόρειο πόλο του .

Υπολογίστε τι ποσοστό του πρασίνου καταλαμβάνει ο μπλε κυκλικός δίσκος .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13921
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραβολή και κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 16, 2022 10:12 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 9:36 am
Παραβολή και κύκλος.png\bigstar Η παραβολή του σχήματος εφάπτεται του κύκλου στον βόρειο πόλο του .

Υπολογίστε τι ποσοστό του πρασίνου καταλαμβάνει ο μπλε κυκλικός δίσκος .
O κύκλος είναι ο x^2+(y-R)^2=R^2 και η παραβολή (συμμετρική και κλίνουσα προς τα κάτω) είναι της μορφής y=-ax^2+b. Αφού η κορυφή είναι το (0,2R), παίρνει την μορφή y=-ax^2+2R.

Από τα συμφραζόμενα και το σχήμα του θεματοθέτη, πρέπει η παραβολή να μην ξανατέμνει τον κύκλο. Να μην έχουμε δηλαδή την εκδοχή που δείχνει το σχήμα παρακάτω, στο οποίο η παραβολή και ο κύκλος εφάπτονται μεν, αλλά έχουμε ασάφεια στο πρόβλημα. Συνεχίζω με αυτή την προσθήκη.

Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων θα καταλήξουμε στην εξίσωση x^2(a^2x^2-2aR+1)=0. Μία λύση είναι η x=0 που την ξέρουμε (η κορυφή). Αν δεν θέλουμε άλλη, πρέπει -2aR+1=0, δηλαδή a= \dfrac {1}{2R}. Η εξίσωση τώρα της παραβολής είναι y=-\dfrac {x^2} {2R}+2R.

Τέμνει τον άξονα των x στα \pm 2R άρα το εμβαδόν από κάτω της είναι \displaystyle{\int _{-2R}^{2R} \left ( -\dfrac {x^2} {2R}+2R\right ) dx=\dfrac {16R^2}{3} } .

Άρα το κλάσμα του μπλε προς το πράσινο χωρίο είναι \displaystyle{ \dfrac {\pi R^2} {\dfrac {16R^2}{3} -\pi R^2}= \dfrac {3\pi}{16-3\pi} }, και λοιπά.
Συνημμένα
parav kai kiklos.png
parav kai kiklos.png (3.19 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13148
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παραβολή και κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 16, 2022 10:49 am

Τέλεια ! Για την λιτότητα της διατύπωσης γράφοντας "πράσινο εμβαδόν " , εννοούσα αυτό

που περικλείεται μεταξύ της παραβολής και του οριζόντιου άξονα , άρα : \lambda= \dfrac{3\pi}{16} .

Επειδή : \pi<3.2 , έπεται ότι : \lambda <0.6=60\% ( , ακριβέστερη τιμή : \lambda\simeq 58.9\% ) .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης