Κοινά σημεία ημιπαραβολής και ευθείας

KARKAR · #1

: Κοινά σημεία παραβολής και ευθείας.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού

, για τις οποίες η ευθεία : $y=\dfrac{1}{2}x+k$ ,

έχει με την ημιπαραβολή : $f(x)=\sqrt{4x+9}$ : δύο , ένα ή κανένα κοινό σημείο .

Ας ονομάσουμε A , B

τα κοινά σημεία και

το μέσο του

, του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον άξονα x'x

στο σημείο

. Βρείτε την τιμή του

, ώστε :

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 06, 2021 11:58 am
Κοινά σημεία παραβολής και ευθείας.pngΒρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού , για τις οποίες η ευθεία : $y=\dfrac{1}{2}x+k$ ,

έχει με την ημιπαραβολή : $f(x)=\sqrt{4x+9}$ : δύο , ένα ή κανένα κοινό σημείο .

Ας ονομάσουμε τα κοινά σημεία και το μέσο του , του οποίου η μεσοκάθετος

τέμνει τον άξονα στο σημείο . Βρείτε την τιμή του , ώστε : .

: Κοινά σημεία...png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές

α) $\displaystyle {\left( {\frac{1}{2}x + k} \right)^2} = 4x + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 4(4 - k)x + 4{k^2} - 36 = 0,$ με $\displaystyle \Delta = 16(25 - 8k).$

Έχουμε λοιπόν (λόγω ημιπαραβολής) δύο κοινά σημεία όταν $\dfrac{9}{8}\le \displaystyle k < \frac{{25}}{8},$ ένα κοινό σημείο όταν $\displaystyle k = \frac{{25}}{8}$ ή $k<\dfrac{9}{8}$ και κανένα κοινό σημείο όταν $\displaystyle k > \frac{{25}}{8}$

β) Η ευθεία τέμνει τον x'x

στο σημείο K(-2k,0)

κι επειδή

και ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας

είναι $\dfrac{1}{2},$ όλες οι πράσινες γωνίες θα είναι ίσες, άρα $\displaystyle BS \bot x'x$ . Από την παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση έχουμε:

$\displaystyle \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 8 - 2k,\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{8 - 2k + 2k}}{2} = 4 \Rightarrow M\left( {8 - 2k,4} \right).$ Στη συνέχεια εύκολα προκύπτουν

οι τιμές των τμημάτων στο σχήμα, οπότε π.χ $\displaystyle {y_B} = 5 = \sqrt {4{x_B} + 9} \Leftrightarrow {x_B} = 4 \Rightarrow 5 = \frac{1}{2} \cdot 4 + k \Leftrightarrow$ $\boxed{k=3}$

Κοινά σημεία ημιπαραβολής και ευθείας

Κοινά σημεία ημιπαραβολής και ευθείας

Re: Κοινά σημεία ημιπαραβολής και ευθείας

Μέλη σε σύνδεση