Μελέτη εμβαδού

KARKAR · #1

: Μελέτη εμβαδού.png (18.25 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Από σημείο

το οποίο βρίσκεται σε ( μεταβλητή ) απόσταση

από το κέντρο του κύκλου (K,2)

, φέρουμε

τις εφαπτόμενες και θεωρούμε σ' αυτές ίσα τμήματα SP , ST

, έτσι το τμήμα

να εφάπτεται του κύκλου .

α) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου SPT

συναρτήσει του

και λύστε την εξίσωση : $E(x)=16\sqrt{2}$ .

β) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν αυτού του τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 22, 2021 8:15 pm
Μελέτη εμβαδού.pngΑπό σημείο το οποίο βρίσκεται σε ( μεταβλητή ) απόσταση από το κέντρο του κύκλου , φέρουμε

τις εφαπτόμενες και θεωρούμε σ' αυτές ίσα τμήματα , έτσι το τμήμα να εφάπτεται του κύκλου .

α) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του και λύστε την εξίσωση : $E(x)=16\sqrt{2}$ .

β) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν αυτού του τριγώνου .

Έστω ότι η

τέμνει την

στο

και έστω ότι η κάθετος από το

στην

την τέμνει στο

. Από την ομοιότητα των τριγώνων $SKL,\, STU$ και δεδομένου ότι $SK=x,\, SU=x+2$ , έχουμε $\dfrac {x}{2}=\dfrac {\sqrt {TU^2+(x+2)^2}}{TU}$ .

Λύνοντας θα βρούμε $TU= \pm \dfrac {2\sqrt {x+2}}{\sqrt {x-2}}$ , αλλά κρατάμε την θετική. Άρα το εμβαδόν του τριγώνου είναι $SU\cdot UT= \dfrac {2\sqrt {(x+2)^3}}{\sqrt {x-2}}$ .

Αν θέλουμε να ισχύει $\dfrac {2\sqrt {(x+2)^3}}{\sqrt {x-2}}}=16\sqrt 2}$ , λύνοντας την τριτοβάθμια που προκύπτει, θα βρούμε x=6

ή $x=4\sqrt 5 -6$ .

Για το ελάχιστο, παραγωγίζουμε. Η παράγωγος είναι $\dfrac {2\sqrt {x+2} (x-4)}{\sqrt {(x-2)^3}}$ , που βέβαια μηδενίζεται για x=4

. Τα υπόλοιπα στάνταρ, π.χ. με χρήση δεύτερης παραγώγου στο x=4

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 22, 2021 8:15 pm
Μελέτη εμβαδού.pngΑπό σημείο το οποίο βρίσκεται σε ( μεταβλητή ) απόσταση από το κέντρο του κύκλου , φέρουμε

τις εφαπτόμενες και θεωρούμε σ' αυτές ίσα τμήματα , έτσι το τμήμα να εφάπτεται του κύκλου .

α) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του και λύστε την εξίσωση : $E(x)=16\sqrt{2}$ .

β) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν αυτού του τριγώνου .

Αλλιώς για τον υπολογισμού του εμβαδού.

Θέτω PT=2a

οπότε

: Μελέτη εμβαδού.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

H ημιπερίμετρος του τριγώνου είναι $s= 2a+\sqrt{x^2-4.$ Αλλά, λόγω της διχοτόμου

κι επειδή

είναι το έγκεντρο, θα έχω, $\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{{SP + ST}}{{PT}} = \frac{{2\left( {a + \sqrt {{x^2} - 4} } \right)}}{{2a}} \Leftrightarrow a = \frac{{2\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 2}}$

Με αντικατάσταση παίρνω $\boxed{E(x) = sr = \frac{{2(x + 2)\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 2}}}$

τα υπόλοιπα όπως ο Μιχάλης.

KARKAR · #4

Να συμπληρώσω ( σχήμα Γιώργου ) ότι το

υπολογίζεται και έτσι :

$\dfrac{2}{\sqrt{x^2-4}}=\dfrac{a}{x+2}$ , ή με Π.Θ. : $(x+2)^2+a^2=(a+\sqrt{x^2-4})^2$ .

Για την ελαχιστοποίηση θα μπορούσαμε ( με κίνδυνο να μηδενιστούμε , εκτός αν το αποδείξουμε ) ,

να αξιοποιήσουμε το λήμμα :

Το ελαχίστου εμβαδού τρίγωνο , το περιγεγραμμένο σε κύκλο , είναι το ισόπλευρο .

Τότε θα είναι : $a=\sqrt{x^2-4}$ και : $a\sqrt{3}=x+2 ... \Leftrightarrow x=4$

ή απλούστερα , το

είναι το κέντρο του τριγώνου , οπότε : x=4

.

Υπάρχει άραγε απόδειξη του λήμματος στο forum μας ;

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 24, 2021 1:14 pm
Να συμπληρώσω ( σχήμα Γιώργου ) ότι το υπολογίζεται και έτσι :

$\dfrac{2}{\sqrt{x^2-4}}=\dfrac{a}{x+2}$ , ή με Π.Θ. : $(x+2)^2+a^2=(a+\sqrt{x^2-4})^2$ .

Για την ελαχιστοποίηση θα μπορούσαμε ( με κίνδυνο να μηδενιστούμε , εκτός αν το αποδείξουμε ) ,

να αξιοποιήσουμε το λήμμα :

Το ελαχίστου εμβαδού τρίγωνο , το περιγεγραμμένο σε κύκλο , είναι το ισόπλευρο .

Τότε θα είναι : $a=\sqrt{x^2-4}$ και : $a\sqrt{3}=x+2 ... \Leftrightarrow x=4$

ή απλούστερα , το είναι το κέντρο του τριγώνου , οπότε : .

Υπάρχει άραγε απόδειξη του λήμματος στο forum μας ;

Μία συζήτηση έχει γίνει εδώ

Μελέτη εμβαδού

Μελέτη εμβαδού

Re: Μελέτη εμβαδού

Re: Μελέτη εμβαδού

Re: Μελέτη εμβαδού

Re: Μελέτη εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση