Ελάχιστο με ολοκλήρωμα

#1

Έστω $\displaystyle{f:[a,\,b]\rightarrow \mathbb R}$ γνήσια αύξουσα παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Να βρεθεί το ελάχιστο της $\displaystyle{g(t)= \int _a^b |f(x)-f(t)|dx}$ στο $[a,\,b]$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 09, 2021 9:24 am
Έστω $\displaystyle{f:[a,\,b]\rightarrow \mathbb R}$ γνήσια αύξουσα παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Να βρεθεί το ελάχιστο της $\displaystyle{g(t)= \int _a^b |f(x)-f(t)|dx}$ στο $[a,\,b]$ .

Στη πραγματικότητα το μόνο που χρειάζεται είναι η συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα αλλά τότε βγαίνουμε εκτός φακέλου. Η αντίστοιχη διάκριτη περίπτωση είναι αρκετά γνωστή. Το άθροισμα των αποστάσεων ελαχιστοποιείται στη διάμεσο. Εδώ ισχύει ακριβώς το ίδιο μόνο που η διάμεσος ταυτίζεται με το μέσο του διαστήματος. Δίνω μια απλή γεωμετρική εξήγηση γιατί κατά τη γνώμη μου αυτή παρουσιάζει ενδιαφέρον. Αφήνοντας το

να διατρέξει το διάστημα [a,b]

και σχεδιάζοντας την οριζόντια ευθεία y=f(t)

βλέπουμε αρχικά ότι, αυξανουμένου του

, το εμβαδόν που ''μπαίνει'' είναι μικρότερο από το εμβαδόν που ''βγαίνει''. Αυτό αλλαζει πρωτη και τελευταία φορά όταν $t=\frac{a+b}{2}.$ Επομένως το ελάχιστο πιάνεται σε αυτή την θέση.

#3

Πολύ ωραίος ο γεωμετρικός συλλογισμός.

Ας δούμε λύση με ύλη/οπτική των Μαθηματικών της Γ' Λυκείου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Ισχύει γενικά για μονότονες συναρτήσεις.
Για λόγους δακτυλογράφησης θα θεωρήσω a=0,b=1

.
Αν στο $\frac{1}{2}$
δεν είναι συνεχής τότε για f(t)

μπορούμε να πάρουμε οποινδήποτε αριθμο στο διάστημα με άκρα τα
$\lim_{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{+}}f(x),\lim_{x\rightarrow (\frac{1}{2})^{-}}f(x),$

Η απόδειξη (για αύξουσα)
είναι

Για $0\leq t\leq 1$
εχουμε
$\displaystyle \int_{0}^{t}|f(x)-f(t)|dx=tf(t)-\int_{0}^{t}f,\int_{t}^{1}|f(x)-f(t)|dx=-(1-t)f(t)+\int_{t}^{1}f$

Για $0\leq t\leq \frac{1}{2}$
είναι
$\displaystyle -\int_{0}^{t}f=\int_{t}^{\frac{1}{2}}f-\int_{0}^{\frac{1}{2}}f,\int_{t}^{1}f=\int_{t}^{\frac{1}{2}}f-\int_{\frac{1}{2}}^{1}f$
Απο τις προηγούμενες προκύπτει ότι
$\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)-f(t)|=\int_{\frac{1}{2}}^{1}f-\int_{0}^{\frac{1}{2}}+2\int_{t}^{\frac{1}{2}}f+(2t-1)f(t)$
Αλλά
$\displaystyle 2\int_{t}^{\frac{1}{2}}f+(2t-1)f(t)=2(\int_{t}^{\frac{1}{2}}f-(\frac{1}{2}-t)f(t))\geq 0$
Ετσι έχουμε ελάχιστο για
$t=\frac{1}{2}$

Όμοια για $\frac{1}{2}\leq t\leq 1$

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 09, 2021 9:24 am
Έστω $\displaystyle{f:[a,\,b]\rightarrow \mathbb R}$ γνήσια αύξουσα παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Να βρεθεί το ελάχιστο της $\displaystyle{g(t)= \int _a^b |f(x)-f(t)|dx}$ στο $[a,\,b]$ .

Ας δούμε λύση στην (λίγο πιο περιοριστική) περίπτωση της αρχικής εκφώνησης:

Αφού η

είναι γνήσια αύξουσα, μπορούμε να βγάλουμε τα απόλυτα. Θα πάρουμε

$\displaystyle{ g(t) = \int _a^t |f(x)-f(t)|dx + \int _t^b |f(x)-f(t)|dx = \int _a^t (f(t)-f(x))dx + \int _t^b (f(x)-f(t))dx = }$

$\displaystyle{=f(t) (t-a) -\int _a^t f(x)dx +\int _t^bf(x)dx -f(t)(b-t)=f(t) (2t-a-b) -\int _a^t f(x)dx +\int _t^bf(x)dx }$

Παραγωγίζοντας ως προς

θα βρούμε $\displaystyle{g'(t) = f'(t)(2t-a-b) +2f(t) - f(t)-f(t) = f'(t)(2t-a-b)}$ .

Αλλά f'(t) >0

(γνήσια αύξουσα), οπότε το παραπάνω μηδενίζεται όταν 2t=a+b

. Επίσης η παράσταση είναι αρνητική αν 2t<a+b

και θετική αλλιώς. Άρα στο σημείο αυτό έχουμε ελάχιστο.

Ελάχιστο με ολοκλήρωμα

Ελάχιστο με ολοκλήρωμα

Re: Ελάχιστο με ολοκλήρωμα

Re: Ελάχιστο με ολοκλήρωμα

Re: Ελάχιστο με ολοκλήρωμα

Re: Ελάχιστο με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση