Ημικύκλιο και παραβολές

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ημικύκλιο και παραβολές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 10, 2021 1:52 pm

ημικύκλιο και παραβολές.png
ημικύκλιο και παραβολές.png (56.28 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές
Το ημικύκλιο διαμέτρου AB έχει κέντρο O(0,0) , μέσο M και ακτίνα r .

Βρείτε την παραβολή , η οποία διέρχεται από το M , τέμνει τον x'x σε σημεία

συμμετρικά ως προς O και : α) Διέρχεται από το A .

β) Εφάπτεται - εξωτερικά - του ημικυκλίου και έχει το ελάχιστο άνοιγμα .

γ) Σχηματίζει με τον x'x σχήμα ισεμβαδικό με το ημικύκλιο .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τετ Μαρ 10, 2021 6:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ημικύκλιο και παραβολές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μαρ 10, 2021 2:20 pm

Κάτι κάνει το ίντερνετ και αλλοιώνεται το κειμενο. Προσπαθώ ξανά σε χωριστό ποστ.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Μαρ 10, 2021 2:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13499
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ημικύκλιο και παραβολές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μαρ 10, 2021 2:25 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μαρ 10, 2021 1:52 pm
ημικύκλιο και παραβολές.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου AB έχει κέντρο O(0,0) , μέσο M και ακτίνα r .

Βρείτε την παραβολή , η οποία διέρχεται από το M , τέμνει τον x'x σε σημεία

συμμετρικά ως προς O και : α) Διέρχεται από το A .

β) Εφάπτεται του ημικυκλίου και έχει το ελάχιστο άνοιγμα .

γ) Σχηματίζει με τον x'x σχήμα ισεμβαδικό με το ημικύκλιο .
Οι συμμετρικές ωε προς τον άξονα των y παραβολές έχουν εξίσωση της μορφής y=-a(x^2-s^2) όπου τέμνει τον άξονα των x στα \pm s. Για να διέρχεται από το M(0,r), είναι y=-\dfrac {r}{s^2}(x^2-s^2).

Τώρα

α) Άμεσο με s=r.

β) Δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "μικρότερο άνοιγμα". Αν πάντως σημαίνει ότι κόβει τον άξονα των x σε όσο πιο κοντινά σημεία, έχουμε πρόβλημα γιατί παίρνοντας s>0 όσο μικρά θέλουμε, σημαίνει ότι δεν υπάρχει τέτοια παραβοή.

γ) Με ολοκλήρωση το εμβαδόν κάτω από την παραβολή είναι \displaystyle{\dfrac {4}{3} rs} (γνωστό και στον Αρχιμήδη χωρίς ολοκλήρωση), οπότε θέλουμε \displaystyle{\dfrac {4}{3} rs= \dfrac {1}{2}\pi r^2}. Άρα \displaystyle{s=\dfrac {3\pi}{8}r}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ημικύκλιο και παραβολές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 10, 2021 6:30 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Μαρ 10, 2021 2:25 pm

β) Δεν ξέρω τι ακριβώς σημαίνει "μικρότερο άνοιγμα". Αν πάντως σημαίνει ότι κόβει τον άξονα των x

σε όσο πιο κοντινά σημεία, έχουμε πρόβλημα γιατί παίρνοντας s>0 όσο μικρά θέλουμε, σημαίνει ότι

δεν υπάρχει τέτοια παραβολή.

Ναι Μιχάλη , δική μου παράλειψη . Εννοούσα ( φαίνεται στο σχήμα ) ότι η παραβολή "περιβάλλει" τον κύκλο .


revan085
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Παρ Ιουν 09, 2017 11:10 pm

Re: Ημικύκλιο και παραβολές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από revan085 » Πέμ Μαρ 11, 2021 6:53 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μαρ 10, 2021 1:52 pm
ημικύκλιο και παραβολές.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου AB έχει κέντρο O(0,0) , μέσο M και ακτίνα r .

Βρείτε την παραβολή , η οποία διέρχεται από το M , τέμνει τον x'x σε σημεία

συμμετρικά ως προς O και : α) Διέρχεται από το A .

β) Εφάπτεται - εξωτερικά - του ημικυκλίου και έχει το ελάχιστο άνοιγμα .

γ) Σχηματίζει με τον x'x σχήμα ισεμβαδικό με το ημικύκλιο .
Το δοσμένο ημικύκλιο ικανοποιεί την εξίσωση: x^2+y^2=r^2,r>0,x\in [-r,r],y\in [0,r]

Εξίσωση παραβολής συμμετρικής ως προς {y}'y: y=a(x^2-s^2),a\neq 0 , όπου s,-s οι ρίζες της συνάρτησης αυτής.
Είναι y(0)=r\Rightarrow -as^2=r\Rightarrow a<0.

Άρα η δοσμένη παραβολή είναι της μορφής: y=a(x^2-s^2),a<0\Leftrightarrow y=ax^2+r,a<0

α) Για να διέρχεται η παραβολή από το σημείο A\left ( -r,0 \right ) πρέπει: y(r)=0\Rightarrow r=s\Rightarrow a=-\frac{1}{r}

Επομένως η ζητούμενη παραβολή δίνεται από τη σχέση: y=-\frac{1}{r}x^2+r


β) Για να έχει η ζητούμενη παραβολή το μικρότερο δυνατό "άνοιγμα" θα πρέπει να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του a<0 για την οποία
η παραβολή y=ax^2+r,a<0 έχει μοναδικό σημείο τομής με το δοσμένο ημικύκλιο το σημείο M(r,0)
(το οποίο είναι και σημείο επαφής καθώς και η παραβολή και το ημικύκλιο παίρνουν μέγιστη τιμή για x=0)

Είναι: (ax^2+r)^2=r^2-x^2\Leftrightarrow a^2x^4+(2ar+1)x^2=0\Leftrightarrow x^2(a^2x^2+2ar+1)=0

Η εξίσωση: a^2x^2+2ar+1=0\Leftrightarrow a^2x^2=-(2ar+1)

Για να έχει και αυτή μοναδική λύση την x=0 θα πρέπει 2ar+1=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2r}

Επομένως η ζητούμενη παραβολή δίνεται από τη σχέση: y=-\frac{1}{2r}x^2+r


γ) Έστω s > 0. Πρέπει:

\int_{-s}^{s}a(x^2-s^2)dx=\frac{\pi}{2}r^2\Leftrightarrow \frac{-4as^3}{3}=\frac{\pi}{2}r^2\Leftrightarrow s=\frac{3{\pi}r}{8}\Leftrightarrow a=-\frac{64}{9{\pi^2}r}

Επομένως η ζητούμενη παραβολή δίνεται από τη σχέση: y=-\frac{64}{9{\pi^2}r}x^2+r


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης