Μέγιστο και όριο
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Μέγιστο και όριο
κατά τμήματα : . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου : ,
καθώς και το όριο αυτού του λόγου , όταν : .
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Μέγιστο και όριο
Ας είναι και .
Έχουμε οπότε
Άρα
και η ισότητα ισχύει όταν
Ας είναι
Επειδή ισχύει είναι
το ζητούμενο όριο είναι το
Έχουμε οπότε
Άρα
και η ισότητα ισχύει όταν
Ας είναι
Επειδή ισχύει είναι
το ζητούμενο όριο είναι το
Μάγκος Θάνος
Re: Μέγιστο και όριο
a)Γράφω τα ημικύκλια διαμέτρων κέντρων που τέμνονται στο .
Τα τρίγωνα έχουν ( παραπληρώματα ίσων γωνιών ) , άρα είναι ίσα . Άμεσες συνέπειες :
Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή ορθογώνια . Ο λόγος του οποίου ζητώ το μέγιστο ισούται με το λόγο: .
Η διάκεντρος είναι κάθετη στο μέσο της χορδής .
Όμως
Συνεπώς τη μεγαλύτερη τιμή του λόγου επιτυγχάνεται όταν τα συμπέσουν.
b) Τότε έχω την οριακή περίπτωση που
Αν θα είναι
c) Ενώ αν το τρίγωνο θα έχει (=έστω ) και άρα που είναι και ο ζητούμενος λόγος.
Παρατήρηση . Τα ίδια έχουμε στην τρίτη περίπτωση αν το πλησιάζει στο ( όπως ακριβώς προβλέπει η εκφώνηση) με τo να μένει σταθερό ή ν απομακρύνεται από το .
( βαίνουν στο ίδιο τόξο του μεγάλου ημικυκλίου) και ( βαίνουν στο ίδιο τόξο του μικρού ημικυκλίου )Τα τρίγωνα έχουν ( παραπληρώματα ίσων γωνιών ) , άρα είναι ίσα . Άμεσες συνέπειες :
Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή ορθογώνια . Ο λόγος του οποίου ζητώ το μέγιστο ισούται με το λόγο: .
Η διάκεντρος είναι κάθετη στο μέσο της χορδής .
Όμως
Συνεπώς τη μεγαλύτερη τιμή του λόγου επιτυγχάνεται όταν τα συμπέσουν.
b) Τότε έχω την οριακή περίπτωση που
Αν θα είναι
c) Ενώ αν το τρίγωνο θα έχει (=έστω ) και άρα που είναι και ο ζητούμενος λόγος.
Παρατήρηση . Τα ίδια έχουμε στην τρίτη περίπτωση αν το πλησιάζει στο ( όπως ακριβώς προβλέπει η εκφώνηση) με τo να μένει σταθερό ή ν απομακρύνεται από το .
Re: Μέγιστο και όριο
, η οποία είναι ουσιαστικά αυτή του ( προεορτάζοντος ) Θάνου ( με την ίδια συνέχεια ) .
Έτσι "κρύψαμε" την Τριγωνομετρία . Η λύση του Νίκου μας επανέφερε στην Γεωμετρία ( αναμενόμενο βεβαίως ... )
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μέγιστο και όριο
Με καλή επιλογή των μεταβλητών μπορούμε να γλυτώσουμε πολύ κόπο. Για παράδειγμα, με βάση το σχήμα του Θανάση, αντί για σταθερό, να πάρουμε και . Σε αυτή την περίπτωση, αντί να πάρουμε , εξετάζουμε το .
Γλυτώνουμε και άλλο κόπο αν γράψουμε (είναι βέβαια ) αλλά θα δούμε ότι δεν χρειάζεται να το κουβαλάμε πλήρες. Απλά στο όριο που θα πάρουμε στο τέλος, έχουμε .
Είναι τώρα άμεσο ότι
Για το μέγιστο παρατηρούμε , και λοιπά.
Για το όριο, στο , έχουμε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες