Μέγιστο και όριο

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12539
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο και όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 15, 2021 9:50 pm

Μέγιστο  και  όριο.png
Μέγιστο και όριο.png (7.37 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές
Προεκτείνουμε τις κάθετες πλευρές OA , OB , του ορθογωνίου τριγώνου OAB ,

κατά τμήματα : AA'=BB'=AB . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου : \dfrac{A'B'}{AB} ,

καθώς και το όριο αυτού του λόγου , όταν : \dfrac{OA}{OB}\rightarrow +\infty .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6317
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μέγιστο και όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Ιαν 15, 2021 10:33 pm

Ας είναι \displaystyle{AB=x} και \displaystyle{\angle OAB=y\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}.

Έχουμε \displaystyle{OA=x\cos y,~~OB=x\sin y,} οπότε

\displaystyle{A'B'=\sqrt{(x+x\cos y)^2+(x+x\sin y)^2}=x\sqrt{(1+\cos y)^2+(1+\sin y)^2}=x\sqrt{3+2(\sin y+\cos y).}}

Άρα

\displaystyle{\frac{A'B'}{AB}=\sqrt{3+2(\sin y+\cos y)}\leq \sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}}

και η ισότητα ισχύει όταν \displaystyle{y=\frac{\pi}{4}.}

Ας είναι \displaystyle{f(y)=\sqrt{3+2(\sin y+\cos y)}.}

Επειδή ισχύει \displaystyle{\sin y=\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^2y}},} είναι \displaystyle{f(y)=\sqrt{3+2\sin y(1+\cot y)}=\sqrt{3+2\frac{1+\cot y}{\sqrt{1+\cot ^2 y}}}}

το ζητούμενο όριο είναι το

\displaystyle{\lim_{\cot y\to +\infty}f(y)}=\lim_{a\to +\infty}\sqrt{3+2\frac{(1+a)}{\sqrt{1+a^2}}}=\sqrt{5}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο και όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 17, 2021 2:12 am

a)Γράφω τα ημικύκλια διαμέτρων AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A'B' κέντρων K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L που τέμνονται στο P.
Μέγιστο και όριο_a.png
Μέγιστο και όριο_a.png (39.97 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές
\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} ( βαίνουν στο ίδιο τόξο του μεγάλου ημικυκλίου) και \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} ( βαίνουν στο ίδιο τόξο του μικρού ημικυκλίου )

Τα τρίγωνα AA'P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BB'P έχουν AA' = BB'\,\,,\,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {PAA'} = \widehat {PBB'} ( παραπληρώματα ίσων γωνιών ) , άρα είναι ίσα . Άμεσες συνέπειες :

Τα τρίγωνα PAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PA'B' είναι ισοσκελή ορθογώνια . Ο λόγος του οποίου ζητώ το μέγιστο ισούται με το λόγο: \dfrac{{PL}}{{PK}}.

Η διάκεντρος KL είναι κάθετη στο μέσο M της χορδής OP.

Όμως \boxed{PK \geqslant KM \Rightarrow \frac{1}{{PK}} \leqslant \frac{1}{{KM}} \Rightarrow \frac{{PL}}{{PK}} \leqslant \frac{{PL}}{{KM}}}

Συνεπώς τη μεγαλύτερη τιμή του λόγου επιτυγχάνεται όταν τα O,P,M συμπέσουν.

b) Τότε έχω την οριακή περίπτωση που AB//A'B'
Μέγιστο και όριο_b.png
Μέγιστο και όριο_b.png (6.87 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Αν OA = 1 θα είναι \boxed{AB = AA' = \sqrt 2  \Rightarrow \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{OA'}}{{OA}} = \sqrt 2  + 1}

c) Ενώ αν A \to O το τρίγωνο OA'B' θα έχει OB' = 2OA'(=έστω 2) και άρα A'B' = \sqrt 5 που είναι και ο ζητούμενος λόγος.
Μέγιστο και όριο_c.png
Μέγιστο και όριο_c.png (7.43 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Παρατήρηση . Τα ίδια έχουμε στην τρίτη περίπτωση αν το B πλησιάζει στο O ( όπως ακριβώς προβλέπει η εκφώνηση) με τo A να μένει σταθερό ή ν απομακρύνεται από το O.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12539
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μέγιστο και όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 17, 2021 8:38 am

Μέγιστο  και  όριο.png
Μέγιστο και όριο.png (9.95 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές
Θεωρώντας ( χωρίς βλάβη ) , ότι : OB=1 και OA=x , παίρνουμε για τον ζητούμενο λόγο την συνάρτηση :

\lambda(x)=\sqrt{3+\dfrac{2(x+1)}{\sqrt{x^2+1}} , η οποία είναι ουσιαστικά αυτή του ( προεορτάζοντος ) Θάνου ( με την ίδια συνέχεια ) .

Έτσι "κρύψαμε" την Τριγωνομετρία . Η λύση του Νίκου μας επανέφερε στην Γεωμετρία ( αναμενόμενο βεβαίως ... )


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστο και όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 17, 2021 10:55 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 17, 2021 8:38 am
Θεωρώντας ( χωρίς βλάβη ) , ότι : OB=1 και OA=x ....
Με καλή επιλογή των μεταβλητών μπορούμε να γλυτώσουμε πολύ κόπο. Για παράδειγμα, με βάση το σχήμα του Θανάση, αντί για OB=1 σταθερό, να πάρουμε OA=1 και OB=y. Σε αυτή την περίπτωση, αντί να πάρουμε x\to \infty, εξετάζουμε το y\to 0.

Γλυτώνουμε και άλλο κόπο αν γράψουμε AB=a (είναι βέβαια a^2=y^2+1) αλλά θα δούμε ότι δεν χρειάζεται να το κουβαλάμε πλήρες. Απλά στο όριο y\to 0 που θα πάρουμε στο τέλος, έχουμε a\to 1.

Είναι τώρα άμεσο ότι

\displaystyle{\dfrac {A'B'}{AB} = \dfrac {\sqrt {(1+a)^2+(y+a)^2}}{a}= \dfrac {\sqrt {2a^2+y^2 + 1 + 2a+2ay}}{a}=  \dfrac {\sqrt {2a^2+a^2 + 2a+2ay}}{a}= \sqrt { 3+ \dfrac {2(y+1)}{a} }}

Για το μέγιστο παρατηρούμε \displaystyle{\dfrac {y+1}{a}\le \dfrac {\sqrt 2 \sqrt {y^2+1} }{a}= \sqrt 2 }, και λοιπά.

Για το όριο, στο y\to 0 , έχουμε \displaystyle{  \sqrt { 3+ \dfrac {2(y+1)}{a} }\to  \sqrt { 3+ \dfrac {2(0+1)}{1} }= \sqrt 5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες