Παραλλαγή στο Δ20-Ν
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Παραλλαγή στο Δ20-Ν
Δίνεται ο πραγματικός αριθμός και η συνάρτηση με τύπο , για κάθε
Δ1. Να την ορίσετε κατάλληλα στο , ώστε να είναι συνεχής στο
Δ2. Να αποδείξετε ότι έχει τρία τοπικά ακρότατα και ένα σημείο καμπής .
Δ3. Αν εμφανίζει τοπικά ακρότατα στα με και σημείο καμπής στο , να βρείτε τις γραμμές στις οποίες ανήκουν τα και να δείξετε ότι η γραμμή του είναι άξονας συμμετρίας της γραμμής των .
Δ4. Δείξετε ότι η εφαπτόμενη της στο διέρχεται από σταθερό σημείο και έπειτα βρείτε την εφαπτομένη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
Δ5. Υποθέτουμε ότι . Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ώστε να ισχύει : και κατόπιν ότι ισχύει : για κάθε .
Δ1. Να την ορίσετε κατάλληλα στο , ώστε να είναι συνεχής στο
Δ2. Να αποδείξετε ότι έχει τρία τοπικά ακρότατα και ένα σημείο καμπής .
Δ3. Αν εμφανίζει τοπικά ακρότατα στα με και σημείο καμπής στο , να βρείτε τις γραμμές στις οποίες ανήκουν τα και να δείξετε ότι η γραμμή του είναι άξονας συμμετρίας της γραμμής των .
Δ4. Δείξετε ότι η εφαπτόμενη της στο διέρχεται από σταθερό σημείο και έπειτα βρείτε την εφαπτομένη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
Δ5. Υποθέτουμε ότι . Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ώστε να ισχύει : και κατόπιν ότι ισχύει : για κάθε .
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Παραλλαγή στο Δ20-Ν
Δ1. , αφού
Άρα
Δ2. Για είναι : και
Είναι αν και αν . Άρα έχει σημείο καμπής το
Επιπλέον , , , οπότε
από θ.Bolzano , αφού η είναι συνεχής , υπάρχουν με , ώστε
Mε πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι η έχει τοπικό ελάχιστο το και
τοπικό μέγιστο το . Επίσης το είναι τοπικό μέγιστο .
Δ3. Το ανήκει προφανώς στην ευθεία
Ακόμα , , οπότε με αντικατάσταση βρίσκουμε ότι
και όμοια .
Άρα τα ακρότατα ανήκουν στην καμπύλη .
Προφανώς η είναι άξονας συμμετρίας της .
Δ4. Η εφαπτόμενη στο έχει εξίσωση , η οποία διέρχεται απ΄το σημείο για κάθε .Η εφαπτόμενη στο τυχαίο σημείο , έχει εξίσωση
και περνά απ΄το , οπότε
Άρα έχει εξίσωση
Δ5.
Θεωρούμε την που είναι συνεχής στο και
, αφού και .
Άρα από θ. Bolzano υπάρχει μια ρίζα της . Είναι μοναδική , αφού η είναι γνησίως φθίνουσα διότι
, αφού .
Τότε η σχέση γίνεται :
Με ΘΜΤ στην στο , υπάρχει ,ώστε ,
οπότε η η οποία αληθεύει αφού η είναι γνησίως αύξουσα για και .
Άρα
Δ2. Για είναι : και
Είναι αν και αν . Άρα έχει σημείο καμπής το
Επιπλέον , , , οπότε
από θ.Bolzano , αφού η είναι συνεχής , υπάρχουν με , ώστε
Mε πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι η έχει τοπικό ελάχιστο το και
τοπικό μέγιστο το . Επίσης το είναι τοπικό μέγιστο .
Δ3. Το ανήκει προφανώς στην ευθεία
Ακόμα , , οπότε με αντικατάσταση βρίσκουμε ότι
και όμοια .
Άρα τα ακρότατα ανήκουν στην καμπύλη .
Προφανώς η είναι άξονας συμμετρίας της .
Δ4. Η εφαπτόμενη στο έχει εξίσωση , η οποία διέρχεται απ΄το σημείο για κάθε .Η εφαπτόμενη στο τυχαίο σημείο , έχει εξίσωση
και περνά απ΄το , οπότε
Άρα έχει εξίσωση
Δ5.
Θεωρούμε την που είναι συνεχής στο και
, αφού και .
Άρα από θ. Bolzano υπάρχει μια ρίζα της . Είναι μοναδική , αφού η είναι γνησίως φθίνουσα διότι
, αφού .
Τότε η σχέση γίνεται :
Με ΘΜΤ στην στο , υπάρχει ,ώστε ,
οπότε η η οποία αληθεύει αφού η είναι γνησίως αύξουσα για και .
- Συνημμένα
-
- γπ.png (17.96 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές
Kαλαθάκης Γιώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες