Με απλά υλικά 22

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ με $\displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1}$
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $\displaystyle {{C}_{f}}$ και να σχεδιάσετε τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ .
δ) Θεωρούμε τον περιορισμό $\displaystyle g$ της $\displaystyle f$ στο $\displaystyle [0,+\infty )$ . Να δείξετε ότι η $\displaystyle g$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη .
ε) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της $\displaystyle {{g}^{-1}}$ .
ζ) Έστω το σημείο $\displaystyle A(0,1)$ .
i) Να βρείτε ποιο σημείο της $\displaystyle {{C}_{f}}$ βρίσκεται πλησιέστερα στο $\displaystyle A$ .
ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=k$ , με $\displaystyle -1<k<1$ , τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε δυο σημεία $\displaystyle B,C$ και κατόπιν να βρείτε το $\displaystyle k$ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle ABC$ να είναι το μέγιστο δυνατό .
η) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx<-1}$

greek_sorcerer · #2

Για την γραφική παράσταση πέρα από τον κλασικό τρόπο αντιμετώπισης, υπάρχει και ο εξής:
$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-2}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}+\frac{-2}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}$

η συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{x^2+1}$ είναι γνωστή από το μάθημα Πιθανοτήτων ως κατανομή Cauchy, η οποία δεν έχει δεν έχει μέση τιμή και τυπική απόκλιση, αλλά μοιάζει στο σχήμα με την Κανονική Κατανομή (με πιο ψηλές ουρές).
Εικόνα

Οπότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η συμμετρική της g ως προς τον άξονα x'x και μετατοπισμένη προς τα πάνω κατά μία μονάδα.

#3

α) $\displaystyle f(x)=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{4x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{^{2}}}}$ και $\displaystyle {f}'(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0$ .
Άρα η $\displaystyle f$ είναι γν. φθίνουσα στο $\displaystyle (-\infty ,0]$ και γν αύξουσα στο $\displaystyle [0,+\infty )$ .
Επομένως έχει ολικό ελάχιστο το $\displaystyle f(0)=-1$

β) $\displaystyle {f}''(x)=\frac{4-12{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}$ και $\displaystyle {{f}'}'(x)\ge 0\Leftrightarrow$ $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}\le x\le \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Άρα είναι κυρτή στο $\displaystyle \left[ -\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}} \right]$ και κοίλη αλλού .

γ) $\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)=1$ άρα η $\displaystyle y=1$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη . Κατακόρυφες δεν έχει αφού είναι συνεχής .

: tri.png (24.46 KiB) Προβλήθηκε 919 φορές

δ) Για $\displaystyle x\ge 0$ είναι γνησίως αύξουσα , άρα $\displaystyle 1-1$ , άρα αντιστρέφεται .
$\displaystyle \begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}}\\ {x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}}}\\ {x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{{{x^2} + 1}} = 1 - y}\\ {x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{{1 - y}} = {x^2} + 1}\\ {x \ge 0,y \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = \frac{2}{{1 - y}} - 1}\\ {x \ge 0,y \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = \frac{{1 + y}}{{1 - y}}}\\ {x \ge 0,y \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} }\\ { - 1 \le y < 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f^{ - 1}}(y) = \sqrt {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} }\\ { - 1 \le y < 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f^{ - 1}}(x) = \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} }\\ { - 1 \le x < 1} \end{array}} \right. \end{array}$

ε)

: apl.png (18.5 KiB) Προβλήθηκε 919 φορές

ζ) i) Το τυχαίο σημείο $\displaystyle M(x,f(x))$ απέχει από το $\displaystyle A$ , απόσταση
$\displaystyle d(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(1-f(x))}^{2}}}\Rightarrow d(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(1-\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1})}^{2}}}\Rightarrow d(x)=\sqrt{\frac{{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}}$
Αρκεί να βρούμε το ελάχιστο της $\displaystyle t(x)=\frac{{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+4}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}}$
Είναι $\displaystyle {t}'(x)=\frac{x({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-7)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}=\frac{x(x+1)(x-1)({{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+7)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}$
Άρα η $\displaystyle d$ έχει ελάχιστο για $\displaystyle x=-1$ και για $\displaystyle x=1$ ίσο με $\displaystyle \sqrt{2}$

ii) Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι η ευθεία $\displaystyle y=k,-1<k<1$ , τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε δυο ακριβώς σημεία $\displaystyle B,C$ .
Επειδή η $\displaystyle f$ είναι άρτια , αρκεί να βρούμε το μέγιστο του $\displaystyle ATC$ όπου το $\displaystyle T$ είναι στον $\displaystyle {y}'y$ .
Είναι $\displaystyle (ATC)=\frac{TA\cdot TC}{2}=\frac{(1-k)\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}}{2}$
Έστω $\displaystyle h(k)=\frac{(1-k)\sqrt{\frac{1+k}{1-k}}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+k)(1-k)}=\frac{1}{2}\sqrt{1-{{k}^{2}}}$
με $\displaystyle {h}'(k)=-\frac{1}{2}\frac{k}{\sqrt{1-{{k}^{2}}}}$ , οπότε $\displaystyle {h}'(k)\ge 0\Leftrightarrow k\le 0$
Άρα η $\displaystyle h$ έχει μέγιστο για $\displaystyle k=0$ ίσο με $\displaystyle \frac{1}{2}$ .Τότε το μέγιστο εμβαδόν του $\displaystyle ATC$ είναι $\displaystyle 1$ .

η) Εύκολα δείχνουμε ότι στο $\displaystyle [0,1]$ ισχύει : $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1}\le x-1$
Τότε : $\displaystyle \int_{0}^{1}{\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}dx<\int_{0}^{1}{(x-1})dx=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-x \right]_{0}^{1}=-\frac{1}{2}$
Οπότε λόγω συμμετρίας $\displaystyle \int_{-1}^{1}{f(x)}dx<-1$

Με απλά υλικά 22

Με απλά υλικά 22

Re: Με απλά υλικά 22

Re: Με απλά υλικά 22

Μέλη σε σύνδεση