Με προαιρετικό ερώτημα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Με προαιρετικό ερώτημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 22, 2020 8:14 pm

Με  προαιρετικό  ερώτημα.png
Με προαιρετικό ερώτημα.png (79.71 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές
Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R} .

Α) Για ποιες τιμές του k , η f έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το \mathbb{R} ;

Β) Για ποια τιμή του k , η f έχει σύνολο τιμών το : [ 0 , +\infty ) ;

Γ) Για το k που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη της C_{f} με την μέγιστη κλίση .

Δ) ( Προαιρετικό ) Για το ίδιο k , βρείτε τον μέγιστο κύκλο , ο οποίος έχει με την C_{f}

μοναδικό κοινό σημείο , το σημείο που αυτή εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα .

Συμπλήρωση στο Δ) ... του οποίου το κέντρο κέντρο έχει θετική τεταγμένη...
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Μάιος 23, 2020 4:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 652
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Μάιος 22, 2020 9:42 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 22, 2020 8:14 pm
Με προαιρετικό ερώτημα.pngΔίνεται η συνάρτηση : f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R} .

Α) Για ποιες τιμές του k , η f έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το \mathbb{R} ;

Β) Για ποια τιμή του k , η f έχει σύνολο τιμών το : [ 0 , +\infty ) ;

Γ) Για το k που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη της C_{f} με την μέγιστη κλίση .

Δ) ( Προαιρετικό ) Για το ίδιο k , βρείτε τον μέγιστο κύκλο , ο οποίος έχει με την C_{f}

μοναδικό κοινό σημείο , το σημείο που αυτή εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα .
Γράφω τα A,B,Δ.
A) Πρέπει για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει x^2+x+k>0 που εύκολα βλέπουμε βρίσκοντας τη

διακρίνουσα ότι k>1/4.

B) θέλουμε να υπάρχει x_0 στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης τέτοιο, ώστε f(x_0)=0 και επιπλέον

για κάθε x στο πεδίο ορισμού να ικανοποιείται η f(x)\geq 0. Το τριώνυμο x^2+x+k έχει

ελάχιστο το \dfrac{4k-1}{4}=k-\dfrac{1}{4} και αφού θέλουμε να παίρνει την τιμή 1 αναγκαστικά θα

πρέπει να ισχύει k-\dfrac{1}{4}\leq1\Leftrightarrow k\leq\dfrac{5}{4}. H δεύτερη, όμοια, μας δίνει

k\geq\dfrac{5}{4}. Τελικά βρίσκουμε ότι  k=\dfrac{5}{4} το οποίο εύκολα επαληθεύουμε ότι μας δίνει

το ζητούμενο, δηλαδή σύνολο τιμών το [ 0 , +\infty ). Συγκεκριμένα θα έχουμε τότε

f(x)=\ln ((x+1/2)^2+1)\geq 0 και \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty. H συνέχεια της f

συμπληρώνει την απόδειξη.

Δ) Ο μέγιστος εφαπτόμενος κύκλος θα έχει ακτίνα R=\dfrac{1}{|{f}''(-1/2)|}\left ( 1+({f}'(-1/2))^2 \right ) ^{3/2}=1/2

(ακτίνα καμπυλότητας) και κέντρο το (-1/2,1/2)


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Μάιος 23, 2020 12:15 pm

Καλημέρα. Μια ιδέα στο Γ

Έχουμε k=\dfrac{5}{4} και f(x)=\ln\,\left(x^2+x+\dfrac{5}{4}\right)\,,x\in\mathbb{R}. Το ζητούμενο είναι να βρεθεί η μέγιστη τιμή της f^{\prime}

όπου f^{\prime}(x)=\dfrac{2\,x+1}{x^2+x+5/4}=\dfrac{4\,(2\,x+1)}{4\,x^2+4\,x+5}=\dfrac{4\,(2\,x+1)}{(2\,x+1)^2+4}\,,x\in\mathbb{R}

Ισοδύναμα λοιπόν, αναζητούμε το μέγιστο της ποσότητας \dfrac{4\,y}{y^2+4} όταν y\in\mathbb{R}. Έστω k\in\mathbb{R} ώστε \dfrac{4\,y}{y^2+4}\leq k για κάθε y\in\mathbb{R}

και έστω y_0\in\mathbb{R} ώστε \dfrac{4\,y_0}{y_0^2+4}=k. Έχουμε τώρα k\,y^2-4\,y+4\,k\geq 0 για κάθε y\in\mathbb{R}. Απαιτούμε λοιπόν

k>0 και \Delta\leq 0\iff 16-16\,k^2\leq 0\iff k\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right). Τελικά, k\geq 1 και k_{min}=1.

Αντίστροφα, \dfrac{4\,y}{y^2+4}\leq 1\iff y^2-4\,y+4\geq 0\iff (y-2)^2\geq 0 (που ισχύει για κάθε y\in\mathbb{R} και η ισότητα μόνο για y=2).

Συμπέρασμα : Ισχύει ότι \max f^{\prime}=f^{\prime}\,\left(\dfrac{1}{2}\right) (2\,x+1=2\iff x=1/2) και η ζητούμενη εφαπτομένη είναι αυτή στο σημείο M\,\left(\dfrac{1}{2},\ln\,2\right)
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Σάβ Μάιος 23, 2020 2:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
kfd
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Σάβ Μάιος 23, 2020 1:34 pm

M(\frac{1}{2},ln2)


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Μάιος 23, 2020 2:58 pm

kfd έγραψε:
Σάβ Μάιος 23, 2020 1:34 pm
M(\frac{1}{2},ln2)
Ευχαριστώ. Το διόρθωσα.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Μάιος 23, 2020 3:18 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 22, 2020 8:14 pm
Με προαιρετικό ερώτημα.pngΔίνεται η συνάρτηση : f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R} .

Α) Για ποιες τιμές του k , η f έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το \mathbb{R} ;

Β) Για ποια τιμή του k , η f έχει σύνολο τιμών το : [ 0 , +\infty ) ;

Γ) Για το k που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη της C_{f} με την μέγιστη κλίση .

Δ) ( Προαιρετικό ) Για το ίδιο k , βρείτε τον μέγιστο κύκλο , ο οποίος έχει με την C_{f}

μοναδικό κοινό σημείο , το σημείο που αυτή εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα .

Συμπλήρωση στο Δ) ... του οποίου το κέντρο κέντρο έχει θετική τεταγμένη...
Καλησπέρα.
Ακόμα μια προσπάθεια στο τρίτο ερώτημα της πολύ ωραίας άσκησης...
Όπως βρήκε, επίσης πολύ ωραία, ο Λάμπρος είναι k=\dfrac{1}{2} , οπότε έχουμε : f(x)=ln\left (x^2+x+ \dfrac{5}{4} \right ) .
Η παραπάνω είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{4}} και f''(x)=\dfrac{-4x^2-4x+3}{2(x^2+x+\frac{5}{4})^2} .

O αριθμητής της δευτέρας παραγώγου είναι τριώνυμο με ρίζες τις :  -\dfrac{3}{2} , \dfrac{1}{2} .
Συνεπώς έχουμε:
α) f''(x)<0,\,\,\,\ \forall \,\,x\in \left ( -\infty ,-\frac{3}{2} \right ) \Rightarrow f' : γνησίως φθίνουσα στο  \left ( -\infty ,-\frac{3}{2} \right ] \Rightarrow f'\left ( \left ( -\infty ,-\frac{3}{2} \right ] \right ) =\left [-1 , 0 \right ) .

β) f''(x)>0,\,\,\,\ \forall \,\,x\in \left ( -\frac{3}{2} ,\frac{1}{2} \right ) \Rightarrow f' : γνησίως αύξουσα στο  \left [  -\frac{3}{2} ,\frac{1}{2} \right ] \Rightarrow f'\left ( \left [ -\frac{3}{2} ,\frac{1}{2} \right ] \right ) =\left [-1 , 1 \right ] .

γ) f''(x)<0,\,\,\,\ \forall \,\,x\in \left ( \frac{1}{2}, +\infty  \right ) \Rightarrow f' : γνησίως φθίνουσα στο  \left [ \frac{1}{2}, +\infty  \right ) \Rightarrow f'\left ( \left [\frac{1}{2}, +\infty \right ) \right ) =\left (0 , 1 \right ) .

Συνεπώς η f' έχει σύνολο τιμών το [-1,1}] και παρουσιάζει στο \frac{1}{2} μέγιστο, το f'\left ( \frac{1}{2} \right ) = 1 .

Άρα στο σημείο M\left ( \frac{1}{2},ln2 \right ) έχουμε την ζητούμενη εφαπτομένη : y=x-\frac{1}{2}+ln2.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 24, 2020 8:37 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Μάιος 22, 2020 9:42 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 22, 2020 8:14 pm
Με προαιρετικό ερώτημα.pngΔίνεται η συνάρτηση : f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R} .

Α) Για ποιες τιμές του k , η f έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το \mathbb{R} ;

Β) Για ποια τιμή του k , η f έχει σύνολο τιμών το : [ 0 , +\infty ) ;

Γ) Για το k που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη της C_{f} με την μέγιστη κλίση .

Δ) ( Προαιρετικό ) Για το ίδιο k , βρείτε τον μέγιστο κύκλο , ο οποίος έχει με την C_{f}

μοναδικό κοινό σημείο , το σημείο που αυτή εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα .


Δ) Ο μέγιστος εφαπτόμενος κύκλος θα έχει ακτίνα R=\dfrac{1}{|{f}''(-1/2)|}\left ( 1+({f}'(-1/2))^2 \right ) ^{3/2}=1/2

(ακτίνα καμπυλότητας) και κέντρο το (-1/2,1/2)
Από που προκύπτει αυτό;
Δηλαδή γιατί δεν τέμνει ο κύκλος αυτός το γράφημα;
Γιατί η ακτίνα είναι μέγιστη;
Και φυσικά τα ερωτήματα είναι εκτός φακέλλου.

Ο κύκλος πράγματι είναι αυτός.
Με ύλη Γ Λυκείου μπορεί να βρεθεί με φυσιολογικό τρόπο και μετά να αποδειχθεί ότι δεν τέμνει
το γράφημα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες