Παραβολή και λόγος

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11894
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραβολή και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 21, 2020 12:48 pm

Παραβολή  και  λόγος.png
Παραβολή και λόγος.png (12.98 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές
Η παραβολή της μορφής : f(x)=ax^2+bx+c , διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου ABC .

α) Βρείτε την εξίσωση της παραβολής και την κορυφή της .

β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής , η οποία είναι παράλληλη προς την AC

και τα σημεία H,Z , στα οποία αυτή τέμνει τις ευθείες : x=0 , x=5 .

γ) Βρείτε τον λόγο : \dfrac{E}{(ACZH)} , όπου E το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ της παραβολής και του AC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9800
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραβολή και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 24, 2020 11:55 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 21, 2020 12:48 pm
Παραβολή και λόγος.png Η παραβολή της μορφής : f(x)=ax^2+bx+c , διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου ABC .

α) Βρείτε την εξίσωση της παραβολής και την κορυφή της .

β) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής , η οποία είναι παράλληλη προς την AC

και τα σημεία H,Z , στα οποία αυτή τέμνει τις ευθείες : x=0 , x=5 .

γ) Βρείτε τον λόγο : \dfrac{E}{(ACZH)} , όπου E το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ της παραβολής και του AC .
Παραβολή και λόγος.png
Παραβολή και λόγος.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές
α) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
f(0) = 4 \Leftrightarrow c = 4\\ 
\\ 
f( - 1) = 0 \Leftrightarrow a - b + 4 = 0\\ 
\\ 
f(5) = 0 \Leftrightarrow 25a + 5b + 4 = 0 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{f(x) =  - \frac{4}{5}{x^2} + \frac{{16}}{5}x + 4}

\displaystyle f(2) = \frac{{36}}{5}, οπότε η κορυφή της παραβολής είναι \boxed{K\left( {2,\frac{{36}}{5}} \right)}

β) \displaystyle f'({x_0}) = {\lambda _{AC}} =  - \frac{4}{5} \Rightarrow {x_0} = \frac{5}{2} και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι \boxed{y =  - \frac{4}{5}x + 9}

απ' όπου εύκολα βρίσκω H(0,9), Z(5,5).

γ) \displaystyle AC:y =  - \frac{4}{5}x + 4 και \displaystyle E = \int_0^5 {\left( {f(x) - ( - \frac{4}{5}x + 4)} \right)dx}  = \left[ { - \frac{{4{x^3}}}{{15}} + 2{x^2}} \right]_0^5 = \frac{{50}}{3}

\displaystyle (ACZH) = CZ \cdot OC = 25, άρα \boxed{\frac{E}{{(ACZH)}} = \frac{2}{3}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11894
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παραβολή και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 24, 2020 12:44 pm

Παραβολή  και  λόγος.png
Παραβολή και λόγος.png (20.14 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές
Στην πρώτη ανάρτηση της άσκησης είχα κάνει λόγο για την συσχέτιση του αποτελέσματος

... με τον Αρχιμήδη . Λοιπόν το E ισούται με τα \dfrac{4}{3} του (SAC) , το οποίο με τη σειρά του

είναι το μισό του (ACZH) ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης