Κορεατικές επιλογές

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1219
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Κορεατικές επιλογές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 23, 2019 8:41 pm

Έστω ότι, η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης y=e^x στο σημείο \left (t, e^t \right ) είναι y=f\left (x \right ), όπου t πραγματικός αριθμός και έστω g\left ( t \right ) η ελάχιστη τιμή του πραγματικού αριθμού k για την οποία η συνάρτηση \displaystyle y=|f\left (x \right )+k -\ln x | είναι παραγωγίσιμη για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς.

Αν \displaystyle{ \int_{a}^{b} g(t) dt = m } για δύο πραγματικούς αριθμούς a και b με (a<b), ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς;

Α) Υπάρχουν δυο πραγματικοί αριθμοί a,b \quad (a<b), ώστε m < 0.

Β) Αν g(c) =0 για κάποιο πραγματικό αριθμό c, τότε g(-c) =0.

Γ) Αν η τιμή του m γίνεται ελάχιστη όταν a=\alpha και b = \beta  (\alpha < \beta), τότε \dfrac{1+g^{\prime}(\beta)}{1+g^{\prime}(\alpha)} < -e^2.



Θέμα 21 (πολλαπλής επιλογής) των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Β (κατεύθυνσης).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Κορεατικές επιλογές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Φεβ 23, 2020 9:10 pm

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι :
y-{{e}^{t}}={{e}^{t}}(x-t)\Rightarrow f(x)={{e}^{t}}x+(1-t){{e}^{t}} . Έστω :
t(x)=y=\,\,|f\left( x \right)+k-\ln x|\,\,\Leftrightarrow t(x)=\,\,\,|{{e}^{t}}x+(1-t){{e}^{t}}+k-\ln x|
Έστω h(x)={{e}^{t}}x+(1-t){{e}^{t}}+k-\ln x .Τότε {h}'(x)={{e}^{t}}-\frac{1}{x} ,οπότε {h}'(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge {{e}^{-t}}
Άρα παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με
h({{e}^{-t}})={{e}^{t}}{{e}^{-t}}+(1-t){{e}^{t}}+k-\ln {{e}^{-t}}=1+{{e}^{t}}-t{{e}^{t}}+k+t
Η t(x) είναι παραγωγίσιμη αν : 1+{{e}^{t}}-t{{e}^{t}}+k+t\ge 0\Leftrightarrow k\ge (t-1){{e}^{t}}-t-1
Επομένως g(t)=(t-1){{e}^{t}}-t-1
Αν g(c)=0\Leftrightarrow (c-1){{e}^{c}}-c-1=0\Leftrightarrow (c-1){{e}^{c}}=c+1\Leftrightarrow {{e}^{c}}=\frac{c+1}{c-1} και τότε
g(-c)=0\Leftrightarrow {{e}^{-c}}=\frac{-c+1}{-c-1}\Leftrightarrow \frac{1}{{{e}^{c}}}=\frac{c-1}{c+1}\Leftrightarrow {{e}^{c}}=\frac{c+1}{c-1}, αληθές ,
οπότε το (Β) ερώτημα αληθεύει .

\displaystyle g(t)=(t-1){{e}^{t}}-t-1\Rightarrow {g}'(t)=t{{e}^{t}}-1
Μπορούμε να δείξουμε ότι η \displaystyle g(t) έχει ελάχιστο για κάποιο \displaystyle {{x}_{0}}\in (0,1) , αφού \displaystyle {g}'(0){g}'(1)=(-1)(e-1)<0
και κατόπιν ότι έχει δύο ακριβώς ρίζες , τις \displaystyle -c,c .
Τότε \displaystyle g(t)<0,t\in (-c,c)\Rightarrow \int\limits_{-c}^{c}{g}(t)dt=m<0
Άρα το (Α) αληθεύει .
\frac{1+{g}'(\beta )}{1+{g}'(\alpha )}<-{{e}^{2}}\Leftrightarrow \frac{1+\beta {{e}^{\beta }}-1}{1+\alpha {{e}^{\alpha }}-1}<-{{e}^{2}}\Leftrightarrow \frac{c{{e}^{c}}}{-c{{e}^{-c}}}<-{{e}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{e}^{c}}}{{{e}^{-c}}}<{{e}^{2}}\Leftrightarrow {{e}^{2c}}>{{e}^{2}}\Rightarrow c>1

όμως {{e}^{c}}=\frac{c+1}{c-1}>0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c>0 , οπότε c>1 , άρα και το (Γ) αληθεύει


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες