Χωρίο εντός τετραγώνου

#1

Δίνεται τετράγωνο ABCD

με $\displaystyle A( - 1,1),B(1, - 1),C(1,1),D( - 1,1).$ Θεωρούμε το σύνολο

των εσωτερικών

σημείων

του τετραγώνου, για τα οποία το μήκος του

(

η αρχή των αξόνων) δεν υπερβαίνει την απόσταση του

από οποιαδήποτε πλευρά. Να βρείτε το εμβαδόν του

Λάμπρος Κατσάπας · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 19, 2019 11:35 am
Δίνεται τετράγωνο με $\displaystyle A( - 1,1),B(1, - 1),C(1,1),D( - 1,1).$ Θεωρούμε το σύνολο των εσωτερικών

σημείων του τετραγώνου, για τα οποία το μήκος του ( η αρχή των αξόνων) δεν υπερβαίνει την απόσταση του

από οποιαδήποτε πλευρά. Να βρείτε το εμβαδόν του

Έστω

Θέλουμε $\sqrt{x^2+y^2}<\min(1-|x|,1-|y|).$

Περιοριζόμαστε στο χωρίο $A= \left \{ (x,y)\in R^2|0\leq |x|<y \leq 1\right \}$ .

Τώρα θέλουμε $\sqrt{x^2+y^2}<1-y$ από την οποία εύκολα βρίσκουμε ότι $y<-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}$ .

Θεωρώντας τώρα y=|x|

και λύνοντας την $|x|=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}$ βρίσκουμε ρίζες τις

$\sqrt{2}-1,1-\sqrt{2}$ . Αυτές είναι οι τετμημένες των σημείων τομής του σχήματος που υποδεικνύει η εκφώνηση με

τις ευθείες y=x,y=-x.

Ολοκληρώνοντας παίρνουμε $\displaystyle \int_{1-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}-1}\left (-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2} \right )dx=\dfrac{4-2\sqrt{2}}{3}$

μόνο που έχουμε λογαριάσει επιπλέον το εμβαδόν δύο ίσων ορθογωνίων τριγώνων με μήκος βάσης $\sqrt{2}-1$

και ύψος το ίδιο. Άρα $E=\dfrac{4-2\sqrt{2}}{3}-(\sqrt{2}-1)^2$ και το ζητούμενο εμβαδόν (λόγω συμμετρίας)

είναι 4E.

Χωρίο εντός τετραγώνου

Χωρίο εντός τετραγώνου

Re: Χωρίο εντός τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση