Μπριόζικο

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

zonk
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 03, 2019 7:18 pm

Μπριόζικο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από zonk » Πέμ Οκτ 03, 2019 7:45 pm

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ωστε να ισχύουν τα κάτωθι:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
f(0)=1 
\\ 
x \in \mathbb{R}\\ 
\\ 
f(x)f'(x)-f^2(x)=xe^{2x}\\ 
\end{matrix}\right}

1) Δείξτε οτι f(x)=e^x\sqrt{x^2+1}, x \in \mathbb{R}

2) \displaystyle{\lim_{x \to+\infty}\left ( f(x)-xe^x \right )=+\infty

3) Nα λυθεί η ανίσωση \displaystyle {e^{x^2-x}}<\displaystyle{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^4+1}}}

4) Nα δειχθεί οτι η C_f και η ευθεία y=-x έχουν μοναδικό κοινό σημείο.

5) Aν F μία παράγουσα της f τότε 2F(2021)<F(2022)+F(2020)

υγ διόρθωση συνθήκης, και διατύπωσης
τελευταία επεξεργασία από zonk σε Πέμ Οκτ 03, 2019 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μπριόζικο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 03, 2019 8:55 pm

zonk έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 7:45 pm
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ωστε να ισχύουν τα κάτωθι:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-\sqrt{x^2+1}}{x^3-x}=2021}\\  
\\ 
x \in \mathbb{R}\\ 
\\ 
f(x)f'(x)-f^2(x)=xe^{2x}\\ 
\end{matrix}\right}

1) Δείξτε οτι f(x)=e^x\sqrt{x^2+1}, x \in \mathbb{R}

2) \displaystyle{\lim_{x \to+\infty}\left ( f(x)-xe^x \right )=+\infty

3) Nα λυθεί η ανίσωση \displaystyle {e^{x^2-x}}<\displaystyle{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^4+1}}}

4) Nα λυθεί η εξίσωση f(x)=-x

5) Aν F μία παράγουσα της f τότε 2F(2021)<F(2022)+F(2020)
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Για τον φόβο μήπως είναι "ασκήσεις στο σπίτι" από μαθήματα που παρακολουθείς και επειδή δεν έχουμε καμία πρόθεση να παρακάμψουμε τους δασκάλους σου, θα δώσω μόνο υπόδειξη:

Εξέτασε την \displaystyle{ f^2(x)e^{-2x}}. Παραγώγισέ την, και λοιπά.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.


zonk
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 03, 2019 7:18 pm

Re: Μπριόζικο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από zonk » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:02 pm

Καλησπέρα,

Δεν είμαι μαθητής εδώ και πολλά χρόνια....Συνάδελφος είμαι..


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4000
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Μπριόζικο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:12 pm

zonk έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 7:45 pm
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ωστε να ισχύουν τα κάτωθι:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-\sqrt{x^2+1}}{x^3-x}=2021}\\  
\\ 
x \in \mathbb{R}\\ 
\\ 
f(x)f'(x)-f^2(x)=xe^{2x}\\ 
\end{matrix}\right}

1) Δείξτε οτι f(x)=e^x\sqrt{x^2+1}, x \in \mathbb{R}

2) \displaystyle{\lim_{x \to+\infty}\left ( f(x)-xe^x \right )=+\infty

3) Nα λυθεί η ανίσωση \displaystyle {e^{x^2-x}}<\displaystyle{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^4+1}}}

4) Nα λυθεί η εξίσωση f(x)=-x

5) Aν F μία παράγουσα της f τότε 2F(2021)<F(2022)+F(2020)

Ωραίο θεματάκι.


(α) Από το όριο που μας δίδεται βγάζουμε ότι f(0)=1. Η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}. Ας υποθέσουμε ότι για κάποιο x_0 \neq 0 η f μηδενίζεται. Τότε η δεύτερη σχέση δίδει:

\displaystyle{f(x_0) f'(x_0) - f^2(x_0)=x_0e^{2x_0} \Leftrightarrow 0=x_0e^{2x_0}}
πράγμα άτοπο , αφού το δεύτερο μέλος μηδενίζεται μόνο για x_0=0. Επίσης η δεύτερη σχέση δεν ισχύει για x_0=0 . Άρα f(x) \neq 0 για κάθε x \in \mathbb{R} και επειδή f(0)=1>0 συνάγουμε ότι f(x)>0 για κάθε x \in \mathbb{R}. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
f'(x) f(x) - f^2(x) = xe^{2x} &\Rightarrow 2 f'(x) f(x) - 2f^2(x) = 2xe^{2x} \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{g(x)=f^2(x)}{=\! =\! =\! =\! =\!=\!\Rightarrow } g'(x) - 2g(x) = 2xe^{2x} \\  
 &\Rightarrow e^{-2x} g'(x) - 2e^{-2x} g(x) = 2x  \\  
 &\Rightarrow \left ( e^{-2x} g(x) \right ) ' = \left ( x^2 \right )' \\  
 &\Rightarrow e^{-2x} g(x) = x^2+c \\ 
 &\!\!\!\!\!\!\!\overset{x=0\Rightarrow c=1}{=\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} e^{-2x} g(x) = x^2+1\\ 
 &\Rightarrow g(x) = e^{2x} \left ( x^2+1 \right ) \\ 
 &\Rightarrow f^2(x) =e^{2x} \left ( x^2+1 \right ) \\ 
 &\Rightarrow f(x) = e^x \sqrt{x^2+1} \; , \; x \in \mathbb{R} 
\end{aligned}}
(β) Είναι

\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) - xe^x \right ) &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( e^x \sqrt{x^2+1} - xe^x \right ) \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} e^x \left ( \sqrt{x^2+1} - x \right )\\ 
 &\geq \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x \sqrt{x^2+1}\\ 
 &=+\infty 
\end{aligned}}
(γ) Η f είναι γνήσια αύξουσα διότι \displaystyle{f'(x) = \frac{e^x\left ( x^2+x+1 \right )}{\sqrt{x+1}}>0} για κάθε x \in \mathbb{R}. Τότε έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
e^{x^2-x} < \sqrt{\frac{x^2+1}{x^4+1}} &\Leftrightarrow e^{x^2} \sqrt{x^4+1} < e^x \sqrt{x^2+1} \\  
 &\Leftrightarrow f\left ( x^2 \right ) < f(x) \\  
 &\Leftrightarrow x^2<x \\  
 &\Leftrightarrow x\left ( x-1 \right ) <0  \\  
 &\Leftrightarrow 0<x<1 
\end{aligned}}
(δ) Η συνάρτηση g(x)=f(x)+x είναι γνήσια αύξουσα, άρα έχει το πολύ μία ρίζα. Σίγουρα λύνεται η εξίσωση;

(ε) Η F είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} και ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στα διάστηματα [2020,2021] , [2021, 2022]. Συνεπώς υπάρχουν \xi_1 \; , \; \xi_2 τέτοια ώστε

\displaystyle{F'(\xi_1) =f(\xi_1)= F(2021)-F(2020) \quad, \quad F'(\xi_2) = f(\xi_2) =F\left ( 2022 \right ) - F\left ( 2021 \right )}
Όμως, η f είναι γνήσια αύξουσα στο \mathbb{R} οπότε

\displaystyle{\begin{aligned} 
f(\xi_1) < f(\xi_2) &\Rightarrow  F(2021)-F(2020) < F\left ( 2022 \right ) - F\left ( 2021 \right ) \\  
 &\Rightarrow 2 F(2021) < F(2022) + F(2020) 
\end{aligned}}
δηλ. το ζητούμενο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
zonk
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 03, 2019 7:18 pm

Re: Μπριόζικο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από zonk » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:38 pm

Έστω g(x)=f(x)+x, x \in \mathbb{R}, η οποία όντως είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο \mathbb{R}.
Εύκολα προκύπτει ότι \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty, \lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty}. Eπομένως το σύνολο τιμών είναι το \mathbb{R} και 0 \in \mathbb{R}. Οποτε η εξίσωση g(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική.
τελευταία επεξεργασία από zonk σε Πέμ Οκτ 03, 2019 9:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μπριόζικο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:39 pm

Τόλη, ωραιότατα αλλά στα Μαθηματικά (επειδή μας διαβάζουν μαθητές) καλό είναι να μην κάνουμε πολύ περιττά βήματα όπως
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:12 pm
g(x)=f^2(x)
Δεν βλέπω τι κερδίζουμε να ονομάσουμε g την f^2 αφού εργαζόμενοι με την f^2 δεν κολλάμε πουθενά ούτε γίνονται μικρότερα τα βήματα.

Επίσης, για δες ξανά το
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:12 pm

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} e^x \left ( \sqrt{x^2+1} - x \right ) 
\geq \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x \sqrt{x^2+1}}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μπριόζικο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:42 pm

zonk έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 7:45 pm
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ωστε να ισχύουν τα κάτωθι:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-\sqrt{x^2+1}}{x^3-x}=2021}\\  
\\ 
x \in \mathbb{R}\\ 
\\ 
f(x)f'(x)-f^2(x)=xe^{2x}\\ 
\end{matrix}\right}

1) Δείξτε οτι f(x)=e^x\sqrt{x^2+1}, x \in \mathbb{R}

2) \displaystyle{\lim_{x \to+\infty}\left ( f(x)-xe^x \right )=+\infty

3) Nα λυθεί η ανίσωση \displaystyle {e^{x^2-x}}<\displaystyle{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^4+1}}}

4) Nα λυθεί η εξίσωση f(x)=-x

5) Aν F μία παράγουσα της f τότε 2F(2021)<F(2022)+F(2020)
Δεν νομίζω η f(x)=e^x\sqrt{x^2+1}

να ικανοποιεί την

\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-\sqrt{x^2+1}}{x^3-x}=2021}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μπριόζικο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 03, 2019 9:57 pm

zonk έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:38 pm
Έστω g(x)=f(x)+x, x \in \mathbb{R}, η οποία όντως είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο \mathbb{R}.
Εύκολα προκύπτει ότι \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty, \lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty}. Eπομένως το σύνολο τιμών είναι το \mathbb{R} και 0 \in \mathbb{R}. Οποτε η εξίσωση g(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική.
Προσοχή. Αυτό δεν λύνει την εξίσωση αλλά απλά διαβεβαιώνει ότι η εξίσωση έχει ρίζα. Όμως η άσκηση ζητά να επιλυθεί η εξίσωση. 'Αλλο το ένα και άλλο το άλλο...


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4000
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Μπριόζικο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Οκτ 03, 2019 10:40 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:42 pm
Δεν νομίζω η f(x)=e^x\sqrt{x^2+1}

να ικανοποιεί την

\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-\sqrt{x^2+1}}{x^3-x}=2021}
Όντως δεν την ικανοποιεί. Για την ακρίβεια το όριο κάνει -1.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μπριόζικο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 04, 2019 3:56 pm

To 2) έμεινε αναπάντητο. Το συμπληρώνω για χάρη της πληρότητας.

\displaystyle{f(x)-xe^x= e^x(\sqrt {1+x^2}-x) = \dfrac {e^x}{\sqrt {1+x^2}+x}\ge \dfrac {e^x}{\sqrt {x^2+x^2}+x}\ge\dfrac {e^x}{3x} \to \infty } καθώς x\to \infty. Τελειώσαμε.

Επίσης, επαναφορά του
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:57 pm
zonk έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:38 pm
Έστω g(x)=f(x)+x, x \in \mathbb{R}, η οποία όντως είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο \mathbb{R}.
Εύκολα προκύπτει ότι \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty, \lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty}. Eπομένως το σύνολο τιμών είναι το \mathbb{R} και 0 \in \mathbb{R}. Οποτε η εξίσωση g(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική.
Προσοχή. Αυτό δεν λύνει την εξίσωση αλλά απλά διαβεβαιώνει ότι η εξίσωση έχει ρίζα. Όμως η άσκηση ζητά να επιλυθεί η εξίσωση. 'Αλλο το ένα και άλλο το άλλο...
Εννοείται, απευθύνομαι προς τον θεματοθέτη.


zonk
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 03, 2019 7:18 pm

Re: Μπριόζικο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από zonk » Παρ Οκτ 04, 2019 8:29 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:57 pm
zonk έγραψε:
Πέμ Οκτ 03, 2019 9:38 pm
Έστω g(x)=f(x)+x, x \in \mathbb{R}, η οποία όντως είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο \mathbb{R}.
Εύκολα προκύπτει ότι \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)=-\infty, \lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty}. Eπομένως το σύνολο τιμών είναι το \mathbb{R} και 0 \in \mathbb{R}. Οποτε η εξίσωση g(x)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα η οποία λόγω μονοτονίας είναι μοναδική.
Προσοχή. Αυτό δεν λύνει την εξίσωση αλλά απλά διαβεβαιώνει ότι η εξίσωση έχει ρίζα. Όμως η άσκηση ζητά να επιλυθεί η εξίσωση. 'Αλλο το ένα και άλλο το άλλο...
Αλλάχτηκε η εκφώνηση ώστε να συνάδει, δεδομένου ότι ως εξίσωση δεν λύνεται με σχολικά μέσα. Η διαφοροποίηση που επισημαίνεται είναι ορθή και πλήρως κατανοητή.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μπριόζικο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 04, 2019 8:49 pm

zonk έγραψε:
Παρ Οκτ 04, 2019 8:29 pm
Αλλάχτηκε η εκφώνηση ώστε να συνάδει, δεδομένου ότι ως εξίσωση δεν λύνεται με σχολικά μέσα. Η διαφοροποίηση που επισημαίνεται είναι ορθή και πλήρως κατανοητή.
Ωραία, με σχολικά μέσα δεν λύνεται. Να υποθέσω, λοιπόν, ότι υπονοείται ότι λύνεται με πιο βαριά εργαλεία;

Θα ήθελα να έβλεπα μια τέτοια επίλυση, και ας μπει στον φάκελο των ΑΕΙ.


zonk
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 03, 2019 7:18 pm

Re: Μπριόζικο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από zonk » Παρ Οκτ 04, 2019 9:42 pm

Με προσεγγιστικές μεθόδους εδώ. Τώρα αν κάποιος επιθυμεί ως αφορμή να το αναπτύξει αλλιώς ευπρόσδεκτος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μπριόζικο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 04, 2019 10:14 pm

zonk έγραψε:
Παρ Οκτ 04, 2019 9:42 pm
Με προσεγγιστικές μεθόδους εδώ. Τώρα αν κάποιος επιθυμεί ως αφορμή να το αναπτύξει αλλιώς ευπρόσδεκτος.
Νιώθω ότι προσπαθείς να μας δουλέψεις, ελπίζω άθελά σου.

Από την μια ισχυρίζεσαι ότι υπάρχει λύση της οποίας ζητάς την τιμή (αλλά ορθά σε ρώτησε ο Τόλης σίγουρα λύνεται η εξίσωση;) και από την άλλη παραπέμπεις σε προσεγγιστική τιμή της ρίζας.

Με ξενίζει διπλά η απάντησή σου (δηλαδή ότι είναι έξω από τα σχολικά) αφού με διαδοχικές διχοτομήσεις διαστημάτων, αρχίζοντας από το [-1,0], θα βρεις ρίζα με όση προσέγγιση θέλεις. Π.χ. στα γρήγορα βρήκα x\approx -0,63.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης