Από Ζανταρίδη ...

Tolaso J Kos · #1

Ήρθε η ώρα να εκπληρώσω την υπόσχεση που έδωσα στο θέμα εδώ με αφορμή την άσκηση εδώ.

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(\mathbb{R}) = (0, +\infty)$ καθώς επίσης και η σχέση

$\displaystyle{f\left ( x+ f(y) \right )> f\left ( x - f(y) \right )\quad \text{\gr για κάθε } \;\; x ,y \in \mathbb{R} \quad \quad (1)}$
Να δειχθεί ότι:

η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα.
η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{x} \int_{x}^{2x} f(t) \; \mathrm{d}t & , & x \neq 0 \\ f(0)&, & x =0 \end{matrix}\right.}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Δεν είναι όλο το θέμα που είχε προτείνει ο κ. Νίκος αλλά ένα κομμάτι αυτoύ. Η άσκηση εκείνη , η οποία υπάρχει στα αρχεία μου , είναι εξαιρετική. Αν δοθεί απάντηση , τότε θα βάλω link στο θέμα αυτό.

Τροβαδούρος · #2

i) Για κάθε $x_1 , x_2 \in \mathbb{R}$ τέτοια ώστε x_1>x_2

από την εκφώνηση υπάρχει x_0

τέτοιο ώστε $f(x_0)=\dfrac{x_1-x_2}{2}$
και αν στην δοθείσα ανισότητα θέσουμε $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ και y=x_0

τότε παίρνουμε f(x_1)>f(x_2)

άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2019 7:03 pm
Ήρθε η ώρα να εκπληρώσω την υπόσχεση που έδωσα στο θέμα εδώ με αφορμή την άσκηση εδώ.

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(\mathbb{R}) = (0, +\infty)$ καθώς επίσης και η σχέση

$\displaystyle{f\left ( x+ f(y) \right )> f\left ( x - f(y) \right )\quad \text{\gr για κάθε } \;\; x ,y \in \mathbb{R} \quad \quad (1)}$
Να δειχθεί ότι:

η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα.

η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{x} \int_{x}^{2x} f(t) \; \mathrm{d}t & , & x \neq 0 \\ f(0)&, & x =0 \end{matrix}\right.}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Δεν είναι όλο το θέμα που είχε προτείνει ο κ. Νίκος αλλά ένα κομμάτι αυτoύ. Η άσκηση εκείνη , η οποία υπάρχει στα αρχεία μου , είναι εξαιρετική. Αν δοθεί απάντηση , τότε θα βάλω link στο θέμα αυτό.

Ας απαντήσω το δεύτερο που είναι γνωστό,
μιας και ισχύει για οποιαδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα που παίρνει θετικές τιμές.

Για x>0

η παράγωγος είναι

$\frac{1}{x^{2}}(2xf(2x)-xf(x)-\int_{x}^{2x}f(t)dt)$

Αλλά
$2xf(2x)-xf(x)=xf(2x)+x(f(2x)-f(x))>xf(2x) >\int_{x}^{2x}f(t)dt$
οπότε η παράγωγος είναι θετική στο $(0,\infty )$
και άρα είναι γνησίως αύξουσα εκεί.
Ομοια είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,0 )$

Επειδή
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\int_{x}^{2x}f(t)dt=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2f(2x)-f(x)}{1}=f(0)$

η συνάρτηση είναι συνεχής στα

$[0,\infty ),(-\infty ,0]$

Αρα είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$
(γιατί;)

Συμπλήρωμα.
Έγραψα Ας απαντήσω το δεύτερο που είναι γνωστό,
μιας και ισχύει για οποιαδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα που παίρνει θετικές τιμές.

αλλά ισχύει
Ας απαντήσω το δεύτερο που είναι γνωστό,
μιας και ισχύει για οποιαδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα .

Από Ζανταρίδη ...

Από Ζανταρίδη ...

Re: Από Ζανταρίδη ...

Re: Από Ζανταρίδη ...

Μέλη σε σύνδεση