Από Ζανταρίδη ...

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3777
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Από Ζανταρίδη ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 15, 2019 7:03 pm

Ήρθε η ώρα να εκπληρώσω την υπόσχεση που έδωσα στο θέμα εδώ με αφορμή την άσκηση εδώ.


Έστω η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει f(\mathbb{R}) = (0, +\infty) καθώς επίσης και η σχέση

\displaystyle{f\left ( x+ f(y) \right )> f\left ( x - f(y) \right )\quad \text{\gr για κάθε } \;\; x ,y \in \mathbb{R} \quad \quad (1)}
Να δειχθεί ότι:
  1. η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα.
  2. η συνάρτηση \displaystyle{g(x) = \left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{1}{x} \int_{x}^{2x} f(t) \; \mathrm{d}t  & , & x \neq 0 \\  
 f(0)&,  & x =0  
\end{matrix}\right.} είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.


Δεν είναι όλο το θέμα που είχε προτείνει ο κ. Νίκος αλλά ένα κομμάτι αυτoύ. Η άσκηση εκείνη , η οποία υπάρχει στα αρχεία μου , είναι εξαιρετική. Αν δοθεί απάντηση , τότε θα βάλω link στο θέμα αυτό.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 38
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

Re: Από Ζανταρίδη ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τροβαδούρος » Δευ Απρ 15, 2019 9:35 pm

i) Για κάθε x_1 , x_2 \in \mathbb{R} τέτοια ώστε x_1>x_2
από την εκφώνηση υπάρχει x_0 τέτοιο ώστε f(x_0)=\dfrac{x_1-x_2}{2}
και αν στην δοθείσα ανισότητα θέσουμε x=\dfrac{x_1+x_2}{2} και y=x_0
τότε παίρνουμε f(x_1)>f(x_2) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2255
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από Ζανταρίδη ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 15, 2019 10:30 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 15, 2019 7:03 pm
Ήρθε η ώρα να εκπληρώσω την υπόσχεση που έδωσα στο θέμα εδώ με αφορμή την άσκηση εδώ.


Έστω η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύει f(\mathbb{R}) = (0, +\infty) καθώς επίσης και η σχέση

\displaystyle{f\left ( x+ f(y) \right )> f\left ( x - f(y) \right )\quad \text{\gr για κάθε } \;\; x ,y \in \mathbb{R} \quad \quad (1)}
Να δειχθεί ότι:
  1. η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα.
  2. η συνάρτηση \displaystyle{g(x) = \left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{1}{x} \int_{x}^{2x} f(t) \; \mathrm{d}t  & , & x \neq 0 \\  
 f(0)&,  & x =0  
\end{matrix}\right.} είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.


Δεν είναι όλο το θέμα που είχε προτείνει ο κ. Νίκος αλλά ένα κομμάτι αυτoύ. Η άσκηση εκείνη , η οποία υπάρχει στα αρχεία μου , είναι εξαιρετική. Αν δοθεί απάντηση , τότε θα βάλω link στο θέμα αυτό.
Ας απαντήσω το δεύτερο που είναι γνωστό,
μιας και ισχύει για οποιαδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα που παίρνει θετικές τιμές.

Για x>0 η παράγωγος είναι

\frac{1}{x^{2}}(2xf(2x)-xf(x)-\int_{x}^{2x}f(t)dt)

Αλλά
2xf(2x)-xf(x)=xf(2x)+x(f(2x)-f(x))>xf(2x) >\int_{x}^{2x}f(t)dt
οπότε η παράγωγος είναι θετική στο (0,\infty )
και άρα είναι γνησίως αύξουσα εκεί.
Ομοια είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,0 )

Επειδή
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\int_{x}^{2x}f(t)dt=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{2f(2x)-f(x)}{1}=f(0)

η συνάρτηση είναι συνεχής στα

[0,\infty ),(-\infty ,0]

Αρα είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}
(γιατί;)

Συμπλήρωμα.
Έγραψα Ας απαντήσω το δεύτερο που είναι γνωστό,
μιας και ισχύει για οποιαδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα που παίρνει θετικές τιμές.

αλλά ισχύει
Ας απαντήσω το δεύτερο που είναι γνωστό,
μιας και ισχύει για οποιαδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης