Επαναληπτικό θέμα Β

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Επαναληπτικό θέμα Β

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Μαρ 26, 2019 10:14 pm

Πολύ κλασική άσκηση αλλά αφού μπαίνουμε σιγά σιγά σε επαναλήψεις είπα να την ανεβάσω.

Δίνεται η συνάρτηση f:\left [0,+\infty   \right )\longrightarrow R με f(0)=e και: \displaystyle{f(x)=x\left ( \ln^{2}x-\ln x-1 \right )+e, \hspace{3mm}x>0}

(α) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.

(β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της.

(γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τις ασύμπτωτες της.

(δ) Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f, σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων.

(ε) Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x)=c, x\geq 0 για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού c, χρησιμοποιώντας το γράφημα που κάνατε στο ερώτημα (δ'). Να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα που βρήκατε, δίνοντας πλήρη απόδειξη.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4011
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτικό θέμα Β

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 26, 2019 11:48 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Μαρ 26, 2019 10:14 pm
Πολύ κλασική άσκηση αλλά αφού μπαίνουμε σιγά σιγά σε επαναλήψεις είπα να την ανεβάσω.

Δίνεται η συνάρτηση f:\left [0,+\infty   \right )\longrightarrow R με f(0)=e και: \displaystyle{f(x)=x\left ( \ln^{2}x-\ln x-1 \right )+e, \hspace{3mm}x>0}

(α) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.

(β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της.

(γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τις ασύμπτωτες της.

(δ) Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της f, σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων.

(ε) Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f(x)=c, x\geq 0 για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού c, χρησιμοποιώντας το γράφημα που κάνατε στο ερώτημα (δ'). Να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα που βρήκατε, δίνοντας πλήρη απόδειξη.

Φιλικά,
Μάριος

Αφού μπήκαμε σε κλίμα επανάληψης , πάμε σιγά σιγά.. !! Ας θυμόμαστε και τίποτα μιας και πλέον δεν ασχολούμαι με το κλάδο οπότε πολλά τα έχω ξεχάσει.


(α) Η f που μας δίδεται γράφεται ως:

\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} 
x \left ( \ln^2 x - \ln x - 1 \right ) + e & , & x >0 \\  
 e& , &  x =0 
\end{matrix}\right.}
Είναι προφανές ότι η f είναι συνεχής στο (0, +\infty) ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Επιπλέον η f είναι συνεχής στο x_0=0 αφού \lim \limits_{x\rightarrow 0^+} f(x) = e = f(0), διότι γενικά ισχύει \lim \limits_{x \rightarrow 0^+} x^\nu \ln x =0 όπου \nu \in \mathbb{N}. ( απλό και γνωστό και βγαίνει π.χ με DLH ) Άρα η f είναι συνεχής στο [0, +\infty).


Στο (0, +\infty) η f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με παράγωγο f'(x) = \ln^2 x - \ln x -2. Θα ελέγξουμε τη παραγωγισιμότητα της f στο x_0=0. Από τον ορισμό της παραγώγου έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} &= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\left ( \ln^2 x - \ln x -1 \right )+e-e}{x}\\  
 &=\lim_{x\rightarrow 0^+} \left ( \ln^2 x - \ln x - 1 \right ) \\   
 &= +\infty  
\end{aligned}}
Συνεπώς η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 .


(β ,γ) Στο (0, +\infty) η f είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο f'(x) = \ln^2 x + \ln x -2 \; , \; x>0 και η f' είναι ξανά παραγωγίσιμη με παράγωγο \displaystyle{f''(x) = \frac{2 \ln x+1}{x} \; , \; x>0}. Στο παρακάτω πίνακα φαίνεται η μονοτονία της f , τα σημεία καμπής καθώς επίσης και τα ακρότατα.

quicklatex.com-4b3e1702ee5010d9552023e38c58bf78_l3.png
quicklatex.com-4b3e1702ee5010d9552023e38c58bf78_l3.png (6.11 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Συνεπώς η f παρουσιάζει στο x_0=\frac{1}{e^2} τοπικό μέγιστο ενώ στο x_0=0 τοπικό ελάχιστο και στο και x_0=e ολικό ελάχιστο.Στο σημείο x_0=\frac{1}{\sqrt{e}} παρουσιάζει σημείο καμπής. Από τον πίνακα φαίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα \left [ \frac{1}{\sqrt{e}}, + \infty \right ) και κοίλη στο \left [0, \frac{1}{\sqrt{e}} \right ] ενώ είναι γνήσια φθίνουσα στα διαστήματα \left [ \frac{1}{e^2}, \frac{1}{\sqrt{e}} \right ] \; , \; \left [ \frac{1}{\sqrt{e}} , e \right ] και γνήσια αύξουσα στα διαστήματα \left [ 0, \frac{1}{e^2} \right ] \; , \; \left [ e, +\infty \right ). Tο σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο

\displaystyle{\Delta = \left [ f(0), f \left ( \frac{1}{e^2} \right ) \right ] \cup \left [ f(e) , \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)  \right ) = \left [ e, e + \frac{5}{e^2} \right ] \cup \left [ 0, +\infty \right ) = \left [ 0, +\infty \right )}
αφού τετριμμένα είναι \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty.


Κατακόρυφες ασύμπτωτες προφανώς δεν υπάρχουν αφού η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού. Θα αναζητήσουμε πλάγιες διότι \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty άρα δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες η γραφική παράσταση της f. Αλλά δεν έχει ούτε πλάγιες αφού

\displaystyle{ \begin{aligned} 
\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}  &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x \left ( \ln^2 x - \ln x -1 \right )+e}{x}\\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \ln^2 x - \ln x - 1 + \frac{e}{x} \right )  \\  
 &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \ln^2 x - \ln x - 1 \right ) + \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e}{x}\\  
 &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left [ \ln x \left ( \ln x - 1 - \frac{1}{\ln x} \right ) \right ] + \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e}{x} \\  
 &= +\infty  
\end{aligned}}
(δ) Η γραφική παράσταση φαίνεται παρακάτω:

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw [->] (-0.5, 0)  -- (5, 0) node[below]{x}; 
\draw [->] (0, -0.5) -- (0 , 5) node[left]{y}; 
\draw[blue, line width=2pt, domain=0.001:5.0,samples=100] plot[smooth](\x, {\x*( (ln(\x))^2 - ln(\x)-1) +2.72 }); 
\draw (-0.1, -0.2) node[left]{O}; 
\draw [fill=red] (0, 2.72) circle(2pt) ; 
\draw (0, 2.72) node[left]{e}; 
\draw[fill=red] (2.72, 0) circle(2pt); 
\draw (2.72, 0) node[below]{e}; 
\draw[fill=red] (0.1353, 3.3949) circle(2pt); 
\draw[fill=red] (0.6065, 2.5666) circle(2pt); 
\end{tikzpicture}}
(ε) Άμεσο από το σχήμα. Η αλγεβρική / αναλυτική απόδειξη μπορεί να περιμένει.


Θέμα Β; Σε καμία περίπτωση!! Είναι πολύ φορτωμένο!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Επαναληπτικό θέμα Β

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 31, 2019 12:44 am

Επαναφορά για το τελευταίο ερώτημα για να κλείσει. Γραφικά έχει απαντηθεί από τον Τόλη τον οποίο και ευχαριστώ για την ωραία παρουσίαση της λύσης του!

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης