Ώρα για επανάληψη

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8425
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ώρα για επανάληψη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 26, 2019 7:42 pm

A) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα τη συνάρτηση f(x)=x\ln x και να υπολογίσετε

το ολοκλήρωμα \displaystyle \int_1^e {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + f(x)}}dx}

Β) Δίνονται επιπλέον οι συναρτήσεις \displaystyle g(x) = \frac{{\ln x}}{{\ln (x + 1)}},x > 0 και \displaystyle h(x) = {(\ln x)^2} - \ln (x + 1)\ln (x - 1),x > 1

α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης g.

β) Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{h(x)}}{{\ln (x + 1)\ln (x - 1)}} και να δείξετε ότι h(x)>0.

Γ) Να δείξετε ότι \displaystyle {x^x}{(4 - x)^{4 - x}} \ge 16, για κάθε \displaystyle x \in (0,4)



Επεξεργασία: Άλλαξα το πρώτο σκέλος του Ββ) που ζητούσα αρχικά τις ασύμπτωτες της C_h.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Μαρ 27, 2019 10:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ώρα για επανάληψη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Μαρ 27, 2019 1:49 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 26, 2019 7:42 pm
A) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα τη συνάρτηση f(x)=x\ln x και να υπολογίσετε

το ολοκλήρωμα \displaystyle \int_1^e {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + f(x)}}dx}
...για το Α...

Α) Είναι {f}'(x)=\ln x+1,\,\,{f}''(x)=\frac{1}{x}>0 οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή στο A=(0,\,+\infty ) και επειδή

{f}'(\frac{1}{e})=0 για 0<x<\frac{1}{e}\Rightarrow {f}'(x)<0 άρα f είναι γνήσια φθίνουσα στο

(0,\,\,\frac{1}{e}] και για x>\frac{1}{e}\Rightarrow {f}'(x)>0 άρα f είναι γνήσια αύξουσα στο [\frac{1}{e},\,\,+\infty )

Ακόμη I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+f(x)}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\frac{x+1}{{{x}^{2}}+x\ln x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\frac{x+1}{x(x+\ln x)}dx}=

=\int\limits_{1}^{e}{\frac{1+\frac{1}{x}}{x+\ln x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\frac{(x+\ln x{)}'}{x+\ln x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{{{\left( \ln |x+\ln x| \right)}^{\prime }}dx}=\left[ ln|x+\ln x| \right]_{1}^{e}=\ln (e+1)

...τώρα :sleeping: :sleeping: αύριο πάλι..

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Chagi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Re: Ώρα για επανάληψη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Τετ Μαρ 27, 2019 4:09 pm

Καλησπέρα !!

Για το Β:

α)
{g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}
με x>1.
Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της f.

Αφού x>1 προφανώς ο αριθμητής της {g}' είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της g θετική (αφού η f γνησίως αύξουσα στο (1,\,+\infty).
Οπότε η g γνησίως αύξουσα στο (1,\,+\infty).

β)
Για το όριο :

Εύκολα με ντελοπιταλ βγαίνει ίσο με 0.

Θα δείξουμε ότι h(x)>0.

Είναι h(x)>0\Rightarrow \frac{\ lnx}{\ ln(x+1)}>\frac{\ln(x-1)}{\ lnx}\Rightarrow g(x)>g(x-1) \Rightarrow x>x-1. Το οποίο ισχύει για κάθε x>2.

Αν 1<x\leq2, τότε
h(x)>0\Rightarrow \ lnx\ lnx> \ ln(x-1)\ ln(x+1),
το οποίο και πάλι ισχύει αφού το αριστερό μέλος είναι θετική ποσότητα, σε αντίθεση με το δεξί το οποίο είναι καθαρά μη θετική ποσότητα.

Τελικά h(x)>0 για κάθε x>1.

Το γ) αργότερα.

Ελπίζω να μη μου έχει ξεφύγει κάτι.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4001
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ώρα για επανάληψη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 27, 2019 7:45 pm

Chagi έγραψε:
Τετ Μαρ 27, 2019 4:09 pm
Καλησπέρα !!

Για το Β:

α)
{g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}
με x>1.
Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της f.

Αφού x>1 προφανώς ο αριθμητής της {g}' είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της g θετική (αφού η f γνησίως αύξουσα στο (1,\,+\infty).
Οπότε η g γνησίως αύξουσα στο (1,\,+\infty).
Η g ορίζεται στο (0, +\infty ) , άρα το πρόσημο της g’ θέλει δουλίτσα ! Αυτό που έκανα χθες ήταν να θεωρήσω συνάρτηση τον αριθμητή που έχει πολύ καλή παράγωγο και να βγάλω το αποτέλεσμα !

Αν και θεωρώ πως κάπου η f μπλέκεται !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Chagi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Re: Ώρα για επανάληψη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Τετ Μαρ 27, 2019 8:44 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Μαρ 27, 2019 7:45 pm
Chagi έγραψε:
Τετ Μαρ 27, 2019 4:09 pm
Καλησπέρα !!

Για το Β:

α)
{g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}
με x>1.
Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της f.

Αφού x>1 προφανώς ο αριθμητής της {g}' είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της g θετική (αφού η f γνησίως αύξουσα στο (1,\,+\infty).
Οπότε η g γνησίως αύξουσα στο (1,\,+\infty).
Η g ορίζεται στο (0, +\infty ) , άρα το πρόσημο της g’ θέλει δουλίτσα ! Αυτό που έκανα χθες ήταν να θεωρήσω συνάρτηση τον αριθμητή που έχει πολύ καλή παράγωγο και να βγάλω το αποτέλεσμα !

Αν και θεωρώ πως κάπου η f μπλέκεται !
Ευχαριστώ για την υπόδειξη, παράλειψή μου.
Πράγματι θεωρώντας συνάρτηση τον αριθμητή προκύπτει το ζητούμενο μέσα από τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της!


Chagi
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Δευ Ιαν 30, 2017 1:30 pm

Re: Ώρα για επανάληψη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Chagi » Πέμ Μαρ 28, 2019 12:01 am

Για να κλείνει:

Γ) Αρχικά παρατηρούμε ότι για x=2 η δοσμένη ισχύει ως ισότητα.

Τη μετασχηματίζουμε ως εξής:

 \displaystyle {x^x}{(4 - x)^{4 - x}} \ge 16 \Rightarrow x\ lnx + (4-x)\ ln(4-x) \geq 4\ ln2 \Rightarrow f(x) + f(4-x) \geq 2f(2)

Αν x\in (2,4) τότε εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ για την f στα διαστήματα [4-x,2],  [2,x] έχουμε πως υπάρχουν

x_1\in(4-x,2) ώστε {f}'(x_1)=\frac {f(2)- f(4-x)}{x-2}

και x_2\in(2,x) ώστε {f}'(x_2)=\frac {f(x)- f(2)}{x-2}

Είναι x_1<x_2 \Rightarrow {f}'(x_1)<{f}'(x_2) \Rightarrow f(2)- f(4-x) < f(x) - f(2) \Rightarrow f(x) + f(4-x) > 2f(2), αφού η {f}' είναι γνησίως αύξουσα.

Όμοια εργαζόμαστε και για 0<x<2 (αντιστρέφονται απλώς τα άκρα των διαστημάτων στα οποία εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ.) και το ζητούμενο αποδεικνύεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης