Με απλά υλικά (19)

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1394
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (19)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Μαρ 14, 2019 8:54 am

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}},x\in R.
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της \displaystyle f και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση .
γ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης που διέρχονται από το σημείο \displaystyle A(0,1)
δ) Να αποδείξετε ότι \displaystyle \frac{3}{2}<\int\limits_{-1}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}<\frac{5}{3}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3805
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (19)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μαρ 14, 2019 10:18 am

exdx έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 8:54 am
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}},x\in R.
α) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της \displaystyle f και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση .
γ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης που διέρχονται από το σημείο \displaystyle A(0,1)
δ) Να αποδείξετε ότι \displaystyle \frac{3}{2}<\int\limits_{-1}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}<\frac{5}{3}

(α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} με παράγωγο \displaystyle{f'(x) = - \frac{2x}{\left ( x^2+1 \right )^2}}. Συνεπώς είναι γνήσια αύξουσα στο (-\infty, 0] και γνήσια φθίνουσα στο [0, +\infty). Άρα στο x_0=0 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(0)=1. Επιπλέον, η f' είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο \displaystyle{f''(x)=\frac{2\left ( 3x^2-1 \right )}{\left ( x^2+1 \right )^3}}. Είναι

\displaystyle{f''(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}}
και επιπλέον εύκολα βλέπουμε ότι f''(x) \geq 0\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right ]\cup\left [ \frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty \right ). Άρα η f είναι κοίλη στο \left [ -\frac{1}{\sqrt{3}} , \frac{1}{\sqrt{3}} \right ] και κυρτή στο \left ( -\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right ] και στο \left [ \frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty \right ). Άρα στα σημεία \pm \frac{1}{\sqrt{3}} παρουσιάζει η \mathcal{C}_f σημείο καμπής. Είναι \displaystyle{f\left ( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = f \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{3}{4}}.


(β) Ως συνεχής συνάρτηση η \mathcal{C}_f δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Επειδή \displaystyle{\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) =0} και \displaystyle{\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0} συμπεραίνουμε ότι η \mathcal{C}_f έχει τον άξονα x'x οριζόντια ασύμπτωτη τόσο στο +\infty όσο και στο -\infty.


(γ) Το σημείο (0, 1) \in \mathcal{C}_f. Μία εφαπτομένη της \mathcal{C}_f που διέρχεται από το σημείο αυτό είναι η y=1. Θα ελέγξουμε αν υπάρχουν άλλες. Έστω x_0 \neq 0 . Τότε η εφαπτομένη στο σημείο αυτό έχει εξίσωση:

\displaystyle{y-f(x_0) = f'(x_0) \left( x -x_0 \right)}
Όμως το (0, 1) επαληθεύει την εξίσωση της εφαπτομένης , συνεπώς:

\displaystyle{\begin{aligned} 
1-f(x_0) = -f'(x_0)\cdot x_0  &\Leftrightarrow 1- \frac{1}{1+x_0^2} = \frac{2x_0^2}{\left ( 1+x_0^2 \right )^2} \\  
 &\Leftrightarrow 1+x_0^2 -1 = \frac{2x_0^2}{1+x_0^2} \\  
 &\Leftrightarrow x_0^2 =\frac{2x_0^2}{1+x_0^2} \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\overset{x_0 \neq 0}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! \Rightarrow } 1+x_0^2= 2 \\  
 &\Leftrightarrow x_0^2 = 1\\ 
 &\Leftrightarrow x_0= \pm 1 
\end{aligned}}
Άρα και η εφαπτομένη στο x_0=\pm 1 διέρχεται από το (0, 1). Αυτή η εφαπτομένη έχει εξίσωση:

\displaystyle{y-f(\pm1) = f'(1) \left ( x \mp1 \right )\Leftrightarrow y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\left ( x\mp1 \right )
(δ) Κάνοντας την αντικατάσταση x=\tan \theta έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} &\overset{x=\tan \theta}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \sec^2 \theta \, \mathrm{d} \theta \\  
 &=\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \, \mathrm{d}\theta \\  
 &=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \\  
 &=\frac{\pi}{2} 
\end{aligned}}
Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι 1.5=\frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}< \frac{5}{3} \approx 1.66. Όμως επειδή \pi \approx 3.14 έχουμε \displaystyle{\frac{\pi}{2} \approx 1.57} και το ζητούμενο έπεται.


Την ίδια συνάρτηση παλιά την έχουμε δει εδώ με διαφορετικά ερωτήματα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2158
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (19)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Μαρ 17, 2019 8:46 am

έψαχνα εναλλακτικούς τρόπους για το δ προκειμένου να αποφύγουμε τον μετ/μό \displaystyle{x=Tan\theta}

1) Σκέφτηκα μήπως η ευθεία \displaystyle{(E)y=1-x/2} αφήνει απ΄πάνω της την \displaystyle{f(x)=1/1+x^2}

δυστυχώς δεν είναι κοίλη στο\displaystyle{ [0,1]} αλλά στο \displaystyle{[0, \sqrt{3}/3]}

αφού \displaystyle{f(0)=1} είναι υποψήφια για χορδή

Η κλίση της είναι \displaystyle{\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=-1/2<\frac{f(1/\sqrt{3})-f(0)}{{(1/\sqrt{3}-0}} που είναι η κλίση χορδή η οποία βρίσκεται κάτω από την \displaystyle{C_f} άρα η \displaystyle{(E)} ακόμη πιο κάτω
Από κει και πέρα η \displaystyle{f} ειναι κυρτή άρα η \displaystyle{(E)} kάτω από την \displaystyle{f}

Tότε \displaystyle{f(x)>1-\frac{x}{2}} άρα \displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx>3/4}

Λόγω συμμετρίας ,\displaystyle{f} άρτια \displaystyle{\int_{-1}^{1}f(x)dx>3/2}



Για το 2ο σκέλος

\displaystyle{(x^2+1)(1-\frac{x^2}{2})>1...}αφού \displaystyle{0\le x\le 1} αρα \displaystyle{\int_{0}^{1}{f(x)dx} \le \int_{0}^{1}{(1-x^2/2)dx}=5/6}


Λόγω συμμετρίας ,\displaystyle{f} άρτια \displaystyle{\int_{-1}^{1}f(x)dx\le 5/3}


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1394
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (19)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Μαρ 17, 2019 7:49 pm

function.png
function.png (37.02 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Ευχαριστώ τον Αποστόλη και το Ροδόλφο για τις απαντήσεις.
Αν κάποιος κάνει το σχήμα όπως ζητήθηκε , μπορεί να
εμπνευστεί τις συναρτήσεις- φράγματα που απαιτούνται .
Οι ανισότητες αποδεικνύονται και αλγεβρικά .

Με την ευκαιρία : Ο μαθητής υποχρεούται να γνωρίζει την αντικατάσταση \displaystyle x = \tan \theta ;


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης