Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

mstr · #1

Δίνεται άρτια συνάρτηση $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$
Να αποδείξετε ότι: $\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^x} dx = \int_{0}^{1} f(x) dx$

Tolaso J Kos · #2

mstr έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 24, 2019 10:57 pm
Δίνεται άρτια συνάρτηση $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$
Να αποδείξετε ότι: $\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^x} dx = \int_{0}^{1} f(x) dx$

Ισχυρή υπόδειξη: Εφόσον

άρτια θα είναι f(-x)=f(x)

για κάθε $x \in [-1, 1]$ . Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $u=\alpha + \beta-x \Rightarrow u=-x$ στο ολοκλήρωμα παίρνουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=-x}{=\! =\! =\! =\!} -\int_{1}^{-1} \frac{f(-u)}{1+e^{-u}} \, \mathrm{d}u \\ &=\int_{-1}^{1} \frac{f(u)}{1+e^{-u}} \, \mathrm{d}u \\ &=\int_{-1}^{1} \frac{e^u f(u)}{1+e^u} \, \mathrm{d}u \\ &= \cdots \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(u) \, \mathrm{d}u \end{aligned}}$
Γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα που έγραψα; Από την άλλη όμως ισχύει $\displaystyle{\int_{-\alpha}^{\alpha} f(u) \, \mathrm{d}u = 2 \int_{0}^{\alpha} f(u) \, \mathrm{d}u}$ όταν

άρτια. Προσπάθησε να το αποδείξεις. Συνδύασε αυτά τα δύο αποτελέσματα. Τελείωσες.

mstr · #3

Ευχαριστώ πολύ!!

Tolaso J Kos · #4

Θα χαρώ να δω τη λύση σου !!!

Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

Re: Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

Re: Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

Re: Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση