Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

mstr
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Απρ 24, 2018 4:48 pm

Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mstr » Πέμ Ιαν 24, 2019 10:57 pm

Δίνεται άρτια συνάρτηση f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}
Να αποδείξετε ότι: \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^x} dx = \int_{0}^{1} f(x) dx


Statistics is the grammar of science.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 24, 2019 11:19 pm

mstr έγραψε:
Πέμ Ιαν 24, 2019 10:57 pm
Δίνεται άρτια συνάρτηση f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}
Να αποδείξετε ότι: \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^x} dx = \int_{0}^{1} f(x) dx

Ισχυρή υπόδειξη: Εφόσον f άρτια θα είναι f(-x)=f(x) για κάθε x \in [-1, 1]. Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής u=\alpha + \beta-x \Rightarrow u=-x στο ολοκλήρωμα παίρνουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=-x}{=\! =\! =\! =\!} -\int_{1}^{-1} \frac{f(-u)}{1+e^{-u}} \, \mathrm{d}u  \\  
 &=\int_{-1}^{1} \frac{f(u)}{1+e^{-u}} \, \mathrm{d}u \\  
 &=\int_{-1}^{1} \frac{e^u f(u)}{1+e^u} \, \mathrm{d}u \\  
 &= \cdots \\  
 &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(u) \, \mathrm{d}u  
\end{aligned}}
Γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα που έγραψα; Από την άλλη όμως ισχύει \displaystyle{\int_{-\alpha}^{\alpha} f(u) \, \mathrm{d}u = 2 \int_{0}^{\alpha} f(u) \, \mathrm{d}u} όταν f άρτια. Προσπάθησε να το αποδείξεις. Συνδύασε αυτά τα δύο αποτελέσματα. Τελείωσες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
mstr
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Απρ 24, 2018 4:48 pm

Re: Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mstr » Παρ Ιαν 25, 2019 12:31 am

Ευχαριστώ πολύ!!


Statistics is the grammar of science.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Βοήθεια σε αποδεικτική άσκηση ολοκληρωμάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 25, 2019 1:10 am

Θα χαρώ να δω τη λύση σου !!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης