Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

LeoKoum
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:33 pm

Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από LeoKoum » Κυρ Νοέμ 11, 2018 3:44 pm

Καλησπερα,
Εχω κολλησει σε ενα προβλημα στα μαθηματικα της γ λυκειου και θα ηθελα την βοηθεια σας.
Δινεται συναρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} η οποια ειναι 2 φορες παραγωγισιμη και διαφορη του μηδενος, με

f(0)=2, f'(0)=-2, f(1)=1

Να δειξετε οτι υπαρχει \xi \in (0,1) τετοιο ωστε f(\xi) f'(\xi)+ f''(\xi)=0.

Ευχαριστω,
Λεωνιδας
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Νοέμ 14, 2018 9:32 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε latex



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 541
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Νοέμ 11, 2018 9:27 pm

LeoKoum έγραψε:
Κυρ Νοέμ 11, 2018 3:44 pm
Καλησπερα,
Εχω κολλησει σε ενα προβλημα στα μαθηματικα της γ λυκειου και θα ηθελα την βοηθεια σας.
Δινεται συναρτηση f:R->R η οποια ειναι 2 φορες παραγωγισιμη και διαφορη του μηδενος, με
f(0)=2
f'(0)=-2
f(1)=1
Να δειξετε οτι υπαρχει ξΕ(0,1) τετοιο ωστε f(ξ)*f'(ξ)+f''(ξ)=0

Ευχαριστω,
Λεωνιδας
Προσπάθησε να γράφεις σε Latex.

To \xi που μας ζητάει είναι λύση της εξίσωσης f(x ){f}'(x)+{f}''(x)=0.

Μετασχηματίζουμε την προς απόδειξη σχέση σε μια ισοδύναμη και πιο εύκολα διαχειρίσιμη. Η ποσότητα

 f(\xi ){f}'(\xi) παραπέμπει σε παράγωγο της f^2(x) υπολογισμένη στο \xi.

Με αυτό κατά νου έχουμε:

f(x ){f}'(x)+{f}''(x)=0\Leftrightarrow 2f(x ){f}'(x)+2{f}''(x)=0\Leftrightarrow {(f^2(x )+2{f}'(x))}'=0 \Leftrightarrow

 {(f^2(x)(1+\frac{2{f}'(x)}{f^2(x)}))}'=0.

Θεώρησε τώρα την g(x)=x-\frac{2}{f(x)},x\in[0,1]. Ποιο θεώρημα σου εξασφαλίζει ρίζα της παραγώγου {g}' στο (0,1);

Έστω \rho αυτή τη ρίζα. Επίσης η {g}' έχει μια ακόμα ρίζα (βρες την από τα δεδομένα).

Ξανά εφαρμογή του προηγούμενου θεωρήματος και τελείωσες.


LeoKoum
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:33 pm

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από LeoKoum » Κυρ Νοέμ 11, 2018 9:45 pm

Σας ευχαριστω πολυ για τον χρονο σας


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 13, 2018 10:06 pm

Ηταν το πρόβλημα 4 στην IMC 1998
με την διαφορά ότι εκεί δεν υπέθετε ότι f(x)\neq 0

Θα δώσω την λύση και στην περίπτωση που η f έχει ρίζες ακολουθώντας τους συμβολισμούς και τις σκέψεις του Λάμπρου.
(αυτή η λύση είναι διαφορετική από την επίσημη).

Πρέπει να δείξουμε ότι η h(x)=f^2(x )+2{f}'(x)

μηδενίζεται σε σημείο του (0,1)

Παίρνουμε την 'πρώτη' ρίζα της f(αυτό το σημείο είναι εκτός σχολικής ύλης)

Δηλαδή το r=inf\left \{ x\in (0,1):f(x)=0 \right \}

Αυτό υπάρχει γιατί το σύνολο \left \{ x\in (0,1):f(x)=0 \right \} είναι κλειστό και είναι

r>0

Επειδή είναι x\in (0,r)\Rightarrow f(x)>0

Παίρνουμε ότι f'(r)=\lim_{x\rightarrow r^{-}}\dfrac{f(x)}{x-r}\leq 0

Αλλά h(r)=2f'(r)

Αν f'(r)=0 καθαρίσαμε.

Αν h(r)=2f'(r)<0 τότε αν η h δεν μηδενίζεται θα διατηρεί πρόσημο.

Αρα h'(x)<0 στο (0,1) δηλαδή x\in (0,1)\Rightarrow h(x)=f^2(x )+2{f}'(x)<0

και αμέσως προκύπτει ότι x\in (0,1)\Rightarrow {f}'(x)<0

Αρα η f είναι γνησίως φθίνουσα .

Τότε όμως 0=f(r)>1=f(1) που είναι ΑΤΟΠΟ


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8263
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 14, 2018 9:33 am

Έφτιαξα το \LaTeX στην πρώτη ανάρτηση. Να υπενθυμίσω επίσης ότι πρέπει να τονίζουμε τα κείμενά μας.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Νοέμ 14, 2018 10:04 am

Μια λίγο διαφορετική λύση στο βιβλίο μου Οι Ασκήσεις 5Δ4 . σελ 360 στα αρχεία του :logo:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης