ΕΝΑ ΟΡΙΟ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Να βρείτε το
$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$

Είναι κάτι που έχει ενδιαφέρουσες προεκτάσεις...

Tolaso J Kos · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 2:37 pm
Να βρείτε το
$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$

Είναι κάτι που έχει ενδιαφέρουσες προεκτάσεις...

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $u=\frac{1}{x^2}$ αναγόμαστε στο όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{u\rightarrow +\infty} \sqrt{u} e^{-u}}$
Οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \ell &= \lim_{u\rightarrow +\infty} \sqrt{u} e^{-u} \\ &=\lim_{u\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{u}}{e^u} \\ &=\frac{1}{2}\lim_{u \rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{u} e^u} \\ &= 0 \end{aligned}}$
Τελικά, το όριο κάνει

.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 2:37 pm
Να βρείτε το
$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$

Είναι κάτι που έχει ενδιαφέρουσες προεκτάσεις...

Έχουμε απροσδιοριστία $\frac{0}{0}.$ Η απευθείας εφαρμογή του κανόνα DLH δεν δουλεύει.

Για να αποφύγουμε τις περιπτώσεις $x\rightarrow 0^{+},x\rightarrow 0^{-}$ θα υπολογίσουμε το όριο της απόλυτης

τιμής $\left | \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x} \right |= \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{|x|}$ και θα δείξουμε ότι αυτό είναι

(θα σταθούμε τυχεροί). Από ΚΠ το όριο της αρχικής θα είναι πάλι

Θέτουμε $u=\frac{1}{|x|},u\rightarrow +\infty$ και παίρνουμε

$\lim_{u\rightarrow +\infty }ue^{-u^2}=\lim_{u\rightarrow +\infty }\frac{u}{e^{u^2}}=\lim_{u\rightarrow +\infty }\frac{1}{e^{u^2}2u}=0$

όπου στο τελευταίο βήμα εφαρμόστηκε ο κανόνας DLH.

Διαφορετικά από την $e^x\geq x+1$ παίρνουμε $e^{u^2}\geq u^2+1\Rightarrow e^{-u^2}\leq \frac{1}{u^2+1}.$

Άρα για u>0

έχουμε $0< ue^{-u^2}\leq \frac{u}{u^2+1}\rightarrow 0.$

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 2:37 pm
Να βρείτε το
$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$

Με χρήση του $\displaystyle{ \lim_{t \rightarrow \infty}\frac{t}{e^t}=0$ (άμεσο με l' Hospital) η αλλαγή μεταβλητής $x= \frac {1}{y}$ δίνει για το πλευρικό όριο

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x} = \lim_{y \rightarrow \infty }\frac{1 }{y} \frac {y^2}{e^{y^2}} =0\cdot 0 =0$ .

Όμοια και το άλλο πλευρικό όριο είναι

(σημειώνω ότι μπορούμε να αποφύγουμε τον διπλό κόπο εργαζόμενοι με το |x|

), οπότε το ζητούμενο όριο είναι

.

sot arm · #5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 2:37 pm
Να βρείτε το
$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$

Είναι κάτι που έχει ενδιαφέρουσες προεκτάσεις...

Μία προέκταση που ήρθε κατά νου, αν:
$\displaystyle{f(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}}$ για x διάφορο του μηδενός και

$\displaystyle{f(0)=0}$

Να αποδειχτεί ότι έχει συνεχή παράγωγο κάθε τάξης και $f^{(n)}(0)=0$

Υ.Γ. είναι σίγουρα εκτός φακέλου

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Ωραία παιδιά...

Τι μπορούμε να πούμε για τη γραφική παράσταση πλησίον του της συνάρτησης

με

$f\left ( x \right )=e^{-\frac{1}{x^{2}}}$ όταν $x\neq 0$

και για την οποία ορίζουμε $f\left ( 0 \right )=0$ ;

Λάμπρος Κατσάπας · #7

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 4:25 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 2:37 pm
Να βρείτε το
$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$

Είναι κάτι που έχει ενδιαφέρουσες προεκτάσεις...
Μία προέκταση που ήρθε κατά νου, αν:
$\displaystyle{f(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}}$ για x διάφορο του μηδενός και

$\displaystyle{f(0)=0}$

Να αποδειχτεί ότι έχει συνεχή παράγωγο κάθε τάξης και $f^{(n)}(0)=0$

Υ.Γ. είναι σίγουρα εκτός φακέλου

Είναι κλασικό παράδειγμα αυτό που περιγράφεις μη αναλυτικής συνάρτησης στο 0.

Λάμπρος Κατσάπας · #8

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 4:31 pm
Ωραία παιδιά...

Τι μπορούμε να πούμε για τη γραφική παράσταση πλησίον του της συνάρτησης με

$f\left ( x \right )=e^{-\frac{1}{x^{2}}}$ όταν $x\neq 0$

και για την οποία ορίζουμε $f\left ( 0 \right )=0$ ;

Από τον υπολογισμό του ορίου μπορούμε να πούμε ότι η $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ τείνει ''πολύ πιο γρήγορα'' στο

όταν $x\rightarrow 0$ απ' ότι η g(x)=|x|

(έχει μικρότερη τάξη μεγέθους για την ακρίβεια). Για

αρκετά κοντά στο

η

εγκλωβίζεται από πάνω από τη C_g

και από κάτω από τον

x'x

αφού $e^{-\frac{1}{x^{2}}}>0$ .Καλύτερα συμπεράσματα θα βγάζαμε αν παρατηρούσαμε ότι το

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{|x|^m}=0$ για κάθε θετικό ακέραιο

. Επειδή για μεγάλα

και κοντά στο

η γραφική παράσταση της |x|^m

σχεδόν ταυτίζεται με τον x'x

θα

βλέπαμε ότι το ίδιο συμβαίνει και με τη C_f.

#9

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 11, 2018 4:25 pm
Μία προέκταση που ήρθε κατά νου, αν:
$\displaystyle{f(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}}$ για x διάφορο του μηδενός και

$\displaystyle{f(0)=0}$

Να αποδειχτεί ότι έχει συνεχή παράγωγο κάθε τάξης και $f^{(n)}(0)=0$

Υ.Γ. είναι σίγουρα εκτός φακέλου

Βλέπε την συζήτηση εδώ.

ΕΝΑ ΟΡΙΟ

ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Re: ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Re: ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Re: ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Re: ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Re: ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Re: ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Re: ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Re: ΕΝΑ ΟΡΙΟ

Μέλη σε σύνδεση